17.2 参数方程
典例精析
题型一 参数方程与普通方程互化
【例1】 把下列参数方程化成普通方程：
(1) (θ为参数)；
(2) (t为参数，a，b＞0).
【解析】(1)
所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.
(2)由题意可得
所以①2－②2得－＝4，所以－＝1，其中x＞0.
【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.
(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)x2＝2(y＋)，－≤x≤，图形为一段抛物线弧.
(2)x＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.
(3)x2＋y2－3y＝0(y≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3).
(4)－＝1，图形是双曲线.
题型二 根据直线的参数方程求弦长
【例2】已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.
(1)求曲线C的普通方程；
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.
【解析】(1)由曲线C：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，
化成普通方程为x2－y2＝1.①
(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程(t为参数).②
把②代入①得(2＋)2－(t)2＝1，整理得t2－4t－6＝0.
设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.
从而弦长为|t1－t2|＝＝＝＝2.
方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y＝(x－2)，
代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.
设l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝，
所以|AB|＝·＝2＝2.
【变式训练2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝cos(θ＋)，求直线l被曲线C所截的弦长.
【解析】将方程(t为参数)化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.
将方程ρ＝cos(θ＋)化为普通方程为x2＋y2－x＋y＝0.
表示圆心为(，－)，半径为r＝的圆，
则圆心到直线的距离d＝，弦长＝2＝2＝.
题型三 参数方程综合运用
【例3】已知曲线C1： (t为参数)，C2： (θ为参数).
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值.
【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.
C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；
C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ).
C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|，
从而cos θ＝，sin θ＝－时，d取最小值.
【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝
2cos θ－4sin θ(ρ＞0).
(1)化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m＞0)，经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程.
【解析】(1)曲线C1：＋＝1；曲线C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为的圆.
(2)曲线C1：＋＝1与x轴的交点坐标为(－4,0)和(4, 0)，因为m＞0，所以点P的坐标为(4,0).显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y＝k(x－4).
由曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为的圆得＝，
解得k＝，所以切线l的方程为y＝(x－4).
总结提高
1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x，y的取值范围而造成错误.
2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.
3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.
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