18.4 柯西不等式和排序不等式
典例精析
题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式
【例1】设a1，a2，…，an都为正实数，证明：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.
【证明】方法一：由柯西不等式，有
(＋＋…＋＋)(a2＋a3＋…＋an＋a1)≥
(·＋·＋…＋·)2＝(a1＋a2＋…＋an)2.
不等式两边约去正数因式a1＋a2＋…＋an即得所证不等式.
方法二：不妨设a1≤a2≤…≤an，则a≤a≤…≤a，≥≥…≥.
由排序不等式有
a·＋a·＋…＋a·＋a·≥a·＋a·＋…＋a·＝a1＋a2＋…＋an，
故不等式成立.
方法三：由均值不等式有
＋a2≥2a1，＋a3≥2a2，…，＋a1≥2an，将这n个不等式相加得
＋＋…＋＋＋a2＋a3＋…＋an＋a1≥2(a1＋a2＋…＋an)，整理即得所证不等式.
【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.
【变式训练1】已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正数，求证：＋＋≥9.
【证明】左边＝[2(a＋b＋c)](＋＋)
＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)≥(1＋1＋1)2＝9，
(或左边＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9)
所以＋＋≥9.
题型二 用柯西不等式求最值
【例2】 若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值.
【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝4
(当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz时等号成立，
结合x＋2y＋3z＝2，解得x＝，y＝，z＝)，
所以14(x2＋y2＋z2)≥4.所以x2＋y2＋z2≥.
故x2＋y2＋z2的最小值为.
【点拨】 根据柯西不等式，要求x2＋y2＋z2的最小值，就要给x2＋y2＋z2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x＋2y＋3z的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.
【变式训练2】已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值.
【解析】因为(x2＋2y2＋3z2)[32＋()2＋()2]
≥(3x＋y·＋z·)2≥(3x＋2y＋z)2，
所以(3x＋2y＋z)2≤12，即－2≤3x＋2y＋z≤2，
当且仅当x＝－，y＝－，z＝－时，
3x＋2y＋z取最小值，最小值为－2.
题型三 不等式综合证明与运用
【例3】 设x＞0，求证： 1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
【证明】(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：顺序和≥反序和得
1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①
又因为x，x2，…，xn，1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn，②
将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③
(2)当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞xn.
由①②仍然成立，于是③也成立.
综合(1)(2)，原不等式成立.
【点拨】 分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.
【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.
【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，则a＋b＋c＝3，且这三个正三角形面积和S满足：
3S＝(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2＝?S≥.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.
总结提高
1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.
2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.
3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.
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