2.10函数的综合应用 典例精析 题型一 抽象函数的计算或证明 【例1】已知函数 f (x)对于任何实数x,y都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0. 求证: f(x)是偶函数. 【证明】因为对于任何实数x、y都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), 令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0),所以2f(0)=2f(0)f(0), 因为f(0)≠0,所以f(0)=1, 令x=0,y=x,则f(0+x)+f(0-x)=2f(0)f (x), 所以f(x)+f(-x)=2f(x),所以f(-x)=f(x), 故f(x)是偶函数. 【点拨】对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径;判断或证明抽象函数的奇偶性单调性时,既要扣紧函数奇偶性单调性的定义,又要灵活多变,以创造条件满足定义的要求. 【变式训练1】已知函数f(x)对任意的x,y有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)的定义域为R,请判定f(x)的奇偶性. 【解析】取x=y=0,得f(0)=0. 取y=-x,得f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 题型二 函数与导数的综合应用 【例2】已知函数f(x)=x3+2x2-ax+1. (1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为4,求实数a的值; (2)若函数g(x)=f′(x)在区间(-1,1)上存在零点,求实数a的取值范围. 【解析】由题意得g(x)=f′(x)=3x2+4x-a. (1)f′(1)=3+4-a=4,所以a=3. (2)方法一:①当g(-1)=-a-1=0,即a=-1时,g(x)=f′(x)的零点x=-∈(-1,1); ②当g(1)=7-a=0,即a=7时, f′(x)的零点x=-?(-1,1),不合题意; ③当g(1)g(-1)<0时,-1<a<7; 当时,-≤a<-1.综上所述,a∈[-,7). 方法二:g(x)=f′(x)在区间(-1,1)上存在零点,等价于3x2+4x=a在区间(-1,1)上有解,也等价于直线y=a与曲线y=3x2+4x,x∈(-1,1)有公共点,作图可得a∈[-,7). 方法三:等价于当x∈(-1,1)时,求值域:a=3x2+4x=3(x+)2-∈[-,7). 【变式训练2】二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与坐标轴交于(-1,0)和(0,-1),且其顶点在第四象限,则a+b+c的取值范围为    . 【解析】由已知c=-1,a-b+c=0,所以a+b+c=2a-2. 又?0<a<1,所以a+b+c∈(-2,0). 题型三 化归求函数的最大值和最小值问题 【例3】某个体经营者把开始6个月试销售A、B两种商品的逐月投资与所获得的纯利润列成下表: 投资A商品 (万元) 1 2 3 4 5 6  获纯利 (万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40  投资B商品 (万元) 1 2 3 4 5 6  获纯利 (万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51  该经营者下月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A、B两种商品各多少才能获得最大的利润,请你帮助制定一个资金投入方案,使该经营者能获得最大利润,并根据你的方案求出经营者下个月可能获得的最大利润(结果保留两个有效数字). 【解析】以投资金额为横坐标,纯利润为纵坐标,可以在直角坐标系中画出图象.  据此可以考虑用下列函数描述上述两组数据之间的对应关系 y=-a(x-4)2+2 (a>0),① y=bx,② 把x=1,y=0.65代入①得a=0.15,故前6个月所获得的纯利润关于投资A商品的金额函数关系式可近似的用y=-0.15(x-4)2+2表示, 再把x=4,y=1代入②可得b=0.25,故前6个月所获得的纯利润关于投资B商品的金额函数关系式可近似的用y=0.25x表示, 设下个月投资A商品x万元,则投资B商品(12-x)万元,则可获得纯利润为 y=-0.15(x-4)2+2+0.25(12-x)=-0.15x2+0.95x+2.6, 可得当x≈3.2时,y取最大值4.1万元. 故下个月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元可获得最大利润4.1万元. 【点拨】本题可以用两个函数近似地表示两种投资方案,是估计思想的体现.根据表中所列数据,把近似函数的解析式求出来,由此求得最大利润.解决此类问题的关键在于根据列出的散点图来选取适当的函数模型,然后求出待定系数便可求得函数解析式,再由解析式求最优解. 【变式训练3】求函数y=的值域. 【解析】x=0时,y=0; x>0时,y=,所以0<y<1; x<0时,y=,所以-≤y<0. 综上,-≤y<1. 总结提高 1.函数把数学各个分支紧紧地连在一起,函数与方程、不等式、数列、几何、三角函数彼此渗透、互相融合,构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性.解这类综合问题应注意如下几点: (1)在解题时有些函数的性质并不明显,深入挖掘这些隐含条件,将获得简捷解法; (2)应坚持“定义域优先”的原则,先弄清自变量的取值范围; (3)函数思想处处存在,要重视对函数思想的研究和应用,在解题时,要有意识地引进变量,建立相关函数关系,利用有关函数知识解决问题. 2.解函数应用题的基本步骤: (1)阅读理解,审清题意.读题要逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所表达的实际背景,在此基础上分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题; (2)引进数学符号,建立数学模型.一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引进其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后再根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识和其他相关知识建立关系式,在此基础上,将实际问题转化为函数问题,实现问题数学化,即建立数学模型; (3)利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答,求出结果; (4)将所得结果转译成具体问题的解答.

【点此下载】