2.4 二次函数
典例精析
题型一 求二次函数的解析式
【例1】已知二次函数y＝f(x)的图象的对称轴方程为x＝－2，在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式.
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，由已知有
解得a＝，b＝2，c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.
【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x轴相交，则两点间的距离为|x1－x2|＝.
【变式训练1】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(c,0)，且关于直线x＝2对称，则这个二次函数的解析式是 .
【解析】由已知x＝c为它的一个根，故另一根为1.
所以1＋b＋c＝0，又－＝2?b＝－4，所以c＝3.
所以f(x)＝x2－4x＋3.
题型二 二次函数的最值
【例2】已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)＋2x＞0的解集为(1,3).
所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由f(x)＋6a＝0?ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，②
由②知，Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0?5a2－4a－1＝0，所以a＝1或a＝－.
因为a＜0，所以a＝－，代入①得f(x)＝－x2－x－.
(2)由于f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－)2－，
又a＜0，可得[f(x)]max＝－.
由?a＜－2－或－2＋＜a＜0.
【点拨】(1)利用Δ＝0；(2)利用配方法.
【变式训练2】已知二次函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3和最小值2，则m的取值范围是 .
【解析】[1,2].
题型三 二次函数在方程、不等式中的综合应用
【例3】设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，对于方程f(x)＝[ f(x1)＋f(x2)]，求证：
(1)方程在区间(x1，x2)内必有一解；
(2)设方程在区间(x1，x2)内的根为m，若x1，m－，x2成等差数列，则－＜m2.
【证明】(1)令g(x)＝f(x)－[ f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)g(x2)＝[ f(x1)－f(x2)] [ f(x2)－f(x1)]＝－ [ f(x1)－f(x2)]2＜0，
所以方程g(x)＝0在区间(x1，x2)内必有一解.
(2)依题意2m－1＝x1＋x2，即2m－x1－x2＝1，
又f(m)＝[ f(x1)＋f(x2)]，即2(am2＋bm＋c)＝ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c.
整理得a(2m2－x－x)＋b(2m－x1－x2)＝0，
a(2m2－x－x)＋b＝0，
所以－＝m2－＜m2.
【点拨】二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点对应二次函数的函数值的正负；③相应二次函数的对称轴x＝－与区间的位置关系.
【变式训练3】已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，α，β是f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数α，β，a，b大小关系为( )
A.α＜a＜b＜β B.a＜α＜β＜b
C.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b
【解析】A.
总结提高
1.二次函数的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定.
2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素：①开口方向；②对称轴；③与坐标轴的交点.
3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转化，重视用函数思想处理方程和不等式问题.
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