2.5 指数与指数函数
典例精析
题型一 指数及其运算
【例1】计算：
(1) ；
(2)(0.027)－(－)－2＋(2)－(－1)0.
【解析】(1)原式＝····＝.
(2)原式＝(－(－1)－2()－2＋(－1
＝－49＋－1＝－45.
【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数.
【变式训练1】已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，求－的值.
【解析】a＋b＝，ab＝1.
原式＝2＝2(ab)＝2.
题型二 指数函数性质的应用
【例2】已知函数f(x)＝，其中x∈R.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)是R上的增函数.
【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x∈R，
且f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以f(x)为R上的奇函数.
(2)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－=＜0，
所以f(x)是R上的增函数.
【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围应分类讨论.
【变式训练2】函数y＝的图象大致为 ( )
【解析】A.
题型三 指数函数的综合应用
【例3】已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】f(x)＝2x－＝
(1)因为f(x)＝2，所以2x－＝2.
因为x≥0，所以2x＝1＋，解得x＝log2(1＋).
(2)因为t∈[1,2]，所以2tf(2t)＋mf(t)≥0可化为2t(22t－)＋m(2t－)≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1).
因为22t－1＞0，所以上式可化为m≥－(22t＋1).
又因为－(22t＋1)的最大值为－5，所以m≥－5.
故使得2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立的实数m的取值范围是[－5，＋∞).
【变式训练3】已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是( )
A.a＜0，b＜0，c＜0 B.a＜0，b≥0，c＞0
C.2－a＜2c D.2a＋2c＜2
【解析】D.
总结提高
1.增强分类讨论的意识，对于根式的意义及其性质要分清n是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数a的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论.
2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制.
3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.
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