2.7 幂函数与函数的图象
典例精析
题型一 幂函数的图象与性质
【例1】点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上.
(1)求f(x)、g(x)的解析式；
(2)问当x为何值时，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x).
【解析】(1)设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xb，因为点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，将(－2，)代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象，如图所示，由图象可知：
①当x＞1或x＜－1时，g(x)＜f(x)；
②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x).
【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤：
①设出幂函数的一般形式y＝xa(a为常数)；
②根据已知条件求出a的值；
③写出幂函数的解析式.
本题的第(2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x2＝，即x4＝1，x＝±1，以x＝1，－1为分界点分x＞1，－1＜x＜1，x＜－1，x＝±1五种情况进行讨论，也能得到同样的结果.
【变式训练1】函数f(x)＝(m2－m－1) 是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m.
【解析】因为f(x)为幂函数，
所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，f(x)＝x0在(0，＋∞)上不是减函数.
所以m＝2.
题型二 作函数图象
【例2】作下列函数图象：
(1)y＝1＋log2x；
(2)y＝2|x|－1；
(3)y＝|x2－4|.
【解析】(1)y＝1＋log2x的图象是：
(2)y＝2|x|－1的图象是：
(3)y＝|x2－4|的图象是：
【变式训练2】在下列图象中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图象只可能是( )
【解析】A.
题型三 用数形结合思想解题
【例3】已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求m的取值范围，使方程f(x)＝mx有4个不同实根.
【解析】
递增区间为[1,2]，[3，＋∞)；
递减区间为(－∞，1)，(2,3).
(2)设y＝mx与y＝f(x)有四个公共点，过原点的直线l与y＝f(x)有三个公共点，如图所示.令它的斜率为k，则0＜m＜k.
由
?x2＋(k－4)x＋3＝0.①
令Δ＝(k－4)2－12＝0?k＝4±2.
当k＝4＋2时，方程①的根x1＝x2＝－?(1,3)，舍去；当k＝4－2时，方程①的根x1＝x2＝∈(1,3)，符合题意.故0＜m＜4－2.
【点拨】(1)作出f(x)的图象；(2)利用(1)的图象，研究函数y＝mx与y＝f(x)的交点情况.
【变式训练3】若不等式x2－logax＜0对x∈(0，)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.0＜a＜1 B.≤a＜1
C.a＞1 D.0＜a≤
【解析】原不等式为x2＜logax，设f(x)＝x2，g(x)＝logax，因为0＜x＜＜1，而logax＞x2＞0，所以0＜a＜1，作出f(x)在x∈(0，)内的图象，如图所示.
因为f()＝，所以A(，)，当g(x)图象经过点A时，＝loga?a＝，因为当x∈(0，)时，logax＞x2，g(x)图象按如图虚线位置变化，所以≤a＜1，故答案为B.
题型四 有关图象的对称问题
【例4】设函数f(x)＝x＋，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).
(1)求函数y＝g(x)的解析式，并确定其定义域；
(2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标.
【解析】(1)设P(u，v)是y＝x＋上任意一点，所以v＝u＋.①
设P关于A(2,1)对称的点为Q(x，y)，
所以?
代入①得2－y＝4－x＋?y＝x－2＋.
所以g(x)＝x－2＋，其定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞).
(2)联立方程得
?x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0，
所以Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0?b＝0或b＝4.所以，当b＝0时，交点为(3,0)；当b＝4时，交点为(5,4).
【变式训练4】函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数.若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )
A.－9 B.9 C.－3 D.0
【解析】因为f(－x)＝f(x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函数f(x)的一个周期，所以f(8.5)＝f(0.5)＝9，故应选B.本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键.
总结提高
掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法.函数图象为研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法，用数形结合思想、分类讨论思想和转化变换的思想分析解决数学问题.函数的图象是沟通“数”与“形”的一个重要桥梁.应用函数图象法解数学问题往往具有直观易懂、运算量小的优点，但用图象法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情况.
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