2.8 函数与方程
典例精析
题型一 确定函数零点所在的区间
【例1】已知函数f(x)＝x＋log2x，问方程f(x)＝0在区间[，4]上有没有实根，为什么？
【解析】因为f ()＝＋log2＝－2＝－＜0，
f(4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f()f(4)＜0，又f(x)＝x＋log2x在区间[，4]是连续的，
所以函数f(x)在区间[，4]上有零点，即存在c∈[，4]，使f(c)＝0，
所以方程f(x)＝0在区间[，4]上有实根.
【点拨】判断函数f(x)的零点是否在区间(a，b)内，只需检验两条：①函数f(x)在区间(a，b)上是连续不断的；②f(a)f(b)＜0.
【变式训练1】若x0是函数f(x)＝x＋2x－8的一个零点，则[x0](表示不超过x0的最大整数)＝ .
【解析】因为函数f(x)＝x＋2x－8在区间(－∞，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2)f(3)＜0，所以函数f(x)在区间(2,3)上存在唯一的零点x0，所以[x0]＝2.
题型二 判断函数零点的个数
【例2】判断下列函数的零点个数.
(1)f(x)＝x2＋mx＋(m－2)；
(2)f(x)＝x－4＋log2x.
【解析】(1)由Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，得知f(x)＝x2＋mx＋(m－2)＞0有两个不同的零点.
(2)因为函数f(x)＝x－4＋log2x在区间(0，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2)f(3)＜0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上存在唯一的零点.
【点拨】判断函数的零点个数有以下两种方法：
(1)方程f(x)＝0的根的个数即为函数f(x)的零点个数；
(2)函数f(x)与x轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；
特殊情况下，还可以将方程f(x)＝0化为方程g(x)＝h(x)，然后再看函数y＝g(x)与y＝h(x)的交点个数.
【变式训练2】问a为何值时，函数f(x)＝x3－3x＋a有三个零点，二个零点，一个零点？
【解析】f′(x)＝3x2－3＝0，得x1＝1，x2＝－1，此时f(x)有极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a.由图象(图略)得知：
当－2＜a＜2时，函数f(x)有三个零点；
当a＝－2或a＝2时，函数f(x)有两个零点；
当a＜－2或a＞2时，函数f(x)有一个零点.
题型三 利用导数工具研究函数零点问题
【例3】设函数f(x)＝x3＋2x2－4x＋2a.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)关于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个相异的零点，求a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)＝3x2＋4x－4.
由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞；由f′(x)＜0，得－2＜x＜.
故f(x)的递增区间为(－∞，－2)、(，＋∞)，
f(x)的递减区间为(－2，).
(2)由f(x)＝a2?x3＋2x2－4x－a2＋2a＝0，
令g(x)＝x3＋2x2－4x－a2＋2a.
所以g′(x)＝3x2＋4x－4.
由(1)可知，g(x)在(－∞，－2)和(，＋∞)上递增，在(－2，)上递减，故g(x)在[－3，
－2]和[，2)上为增函数，在[－2，]上为减函数.
关于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个不同的零点，则
解得－2＜a≤－1或3≤a＜4.
【点拨】(1)先求f′(x)，由f′(x)＝0求出极值点，再讨论单调性；(2)利用(1)及函数f(x)的大致图形，找到满足题设的a的条件.
【变式训练3】已知函数f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的两个极值分别为f(x1)和f(x2)，若x1和x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则的取值范围为( )
A.(－1，－) B.(－∞，)∪(1，＋∞)
C.(，1) D.(，2)
【解析】因为f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意可知，
画出a，b满足的可行域，如图中的阴影部分(不包括边界)所示，表示可行域内的点与点D(1,2)的连线的斜率，记为k，观察图形可知，kCD＜k＜kBD，而kCD＝＝，kBD＝＝1，所以＜＜1，故选C.
总结提高
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标，注意零点不是“点”，并不是所有的函数都有零点，或者说不是所有的函数图象都与x轴有交点.二分法是求一般函数零点的一种通法，但要注意使用二分法的条件.二分法是利用“逐步逼近”的数学思想得到零点的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一个零点，二是在(a，b)内有零点时，未必f(a)f(b)＜0成立，三是二分法计算量较大，常要借助计算器完成.
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