2.9 函数模型及其应用
典例精析
题型一 运用指数模型求解
【例1】按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随期数x的变化函数式.如果存入本金10 000元，每期利率为2.25%，计算5期的本息和是多少？
【解析】已知本金为a元，
1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；
2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；
3期后的本利和为y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r
＝a(1＋r)3；
? ?
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.
将a＝10 000， r＝2.25%， x＝5代入上式得
y＝10 000(1＋2.25%)5＝11 176.8，
所以5期后的本利和是11 176.8元.
【点拨】在实际问题中，常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则总产值y与时间x的关系为y＝N(1＋p)x.
【变式训练1】某工厂去年十二月的产值为a，已知月平均增长率为p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是( )
A.(1＋p)12－1 B.(1＋p)12
C.(1＋p)11 D.12p
【解析】今年十二月产值为a(1＋p)12，去年十二月产值为a，故比去年增长了[(1＋p)12－1]a，故选A.
题型二 分段函数建模求解
【例2】在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以5.8万元的优惠价格转给尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息). 在甲提供资料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销价p(元)关系如图；③每月需各种开支2 000元.
(1)试问为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在何种范围？
(2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(3)企业乙只依靠该厂，最早可望几年后脱贫？
【解析】设该店月利润额为L，则由假设得
L＝Q(p－14)×100－3 600－2 000，①
(1)当14≤p≤20时，由L≥0得18≤p≤20，
当20＜p≤26时，由L≥0得20＜p≤22，
故商店销售价应控制在18≤p≤22之内.
(2)当18≤p≤20时，L最大＝450元，此时，p＝19.5元.
当20＜p≤22时，L最大＝416元，此时，p＝20元.
故p＝19.5元时，月利润最大余额为450元.
(3)设可在n年内脱贫，依题意得
12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20，
即最少可望在20年后脱贫.
【点拨】解答这类题关键是要仔细审题，理解题意，建立相应数学模型，求解时，也可利用导数，此外要注意问题的实际意义.
【变式训练2】国家税务部门规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按照超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿费的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税550元，问此人的稿费为多少元？
【解析】设纳税y(元)时稿费为x(元)，则
由y＞500知x＞4 000，所以x×11%＝550?x＝5 000，
所以此人稿费为5 000元.
题型三 生活中的优化问题
【例3】(2012湖北模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
【解析】(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去).
当0＜x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x＜10，f′(x)＞0，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
【点拨】如果根据数据判断函数的类型，可由数据的变化情况对其单调性、对称性和特定值进行判断，也可以从所给的部分数据求出模拟函数解析式，再由其他数据进一步判断.
【变式训练3】某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为x＝ ，y＝ .
【解析】如图，由已知有＝，
即4x＋5y－120＝0，
S＝xy＝(4x5y)≤()2＝180.
所以?x＝15，y＝12.
总结提高
利用数学模型解决实际问题，运用数学建模思想、不同的函数模型刻画现实世界中不同的增长变化规律.一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，它们的增长存在很大的差异，如指数函数增长是指数“爆炸”，对数函数增长是逐步趋于平衡，而幂函数增长远低于指数函数，因此建立恰当数学模型并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测具有很强的现实意义.
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