3.4 定积分与微积分基本定理
典例精析
题型一 求常见函数的定积分
【例1】 计算下列定积分的值.
(1)(x－1)5dx；
(2) (x＋sin x)dx.
【解析】(1)因为[(x－1)6]′＝(x－1)5，
所以 (x－1)5dx＝＝.
(2)因为(－cos x)′＝x＋sin x，
所以(x＋sin x)dx＝＝＋1.
【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；
(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；
(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：
①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx＝2f(x)dx；
②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx＝0.
【变式训练1】求(3x3＋4sin x)dx.
【解析】(3x3＋4sin x)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线
y＝3x3＋4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.
又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)
＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x).
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函数，
所以(3x3＋4sin x)dx＝－(3x3＋4sin x)dx，
所以(3x3＋4sin x)dx＝(3x3＋4sin x)dx＋(3x3＋4sin x)dx＝0.
题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积
【例2】求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x所围成的平面图形的面积.
【解析】方法一：如图，
由
得交点A(2,2)，B(8，－4)，
则S＝[－(－)]dx＋[4－x－(－)]dx
＝＋
＝＋＝18.
方法二：S＝[(4－y)－]dy
＝＝18.
【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.
【变式训练2】设k是一个正整数，(1＋)k的展开式中x3的系数为，则函数y＝x2与y＝kx－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为 .
【解析】Tr＋1＝C()r，令r＝3，得x3的系数为C＝，解得k＝4.由得函数y＝x2与y＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3.
所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝.
题型三 定积分在物理中的应用
【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；
(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功.
【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为
s＝v(t)dt＋(－v(t))dt
＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt
=＋＝2.
2秒末所在的位置为
x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝.
所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝.
(2) 物体的速度为v＝(bt3)′＝3bt2.
媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常数，且k＞0.
当x＝0时，t＝0；
当x＝a时，t＝t1＝()，
又ds＝vdt，故阻力所做的功为
W阻＝ds ＝kv2·vdt＝kv3dt
＝ k(3bt2)3dt＝kb3t ＝ k.
【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)＝a(t)dt，s(t)＝v(t)dt和W＝F(x)dx这三个公式.
【变式训练3】定义F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函数f(x)＝F[1，log2(x2－4x＋9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.
【解析】因为F(x，y)＝(1＋x)y，所以f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4.
所以解得B(3,6)，
所以S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝(－3x2＋9x)=9.
总结提高
1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.
2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.
3.利用定积分求平面图形面积的步骤：
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
（4）计算定积分，写出答案.
【点此下载】