4.2　平面向量的基本定理及其坐标表示 典例精析 题型一　平面向量基本定理的应用 【例1】如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知=a,=b,试用a，b表示，与 【解析】易知＝＋ ＝＋， ＝＋＝＋， 即 所以＝(2b－a)， ＝(2a－b). 所以＝＋＝(a＋b). 【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟. 【变式训练1】已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，则等于(　　) A.　　　　 B.　　　 　C.1　　　 　D.2 【解析】由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2，因此结合＋＋＝0即得＝2，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以＝1，即选C. 题型二　向量的坐标运算 【例2】 已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b. (1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x. 【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)， 所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)， v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1). (1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1) ?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)， 所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1. (2)u∥v ?(2x＋1，3)＝λ(2－x，1) ? ?(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1. 【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视. 【变式训练2】已知向量an＝(cos，sin)(n∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为　　　. 【解析】设b＝(cos θ，sin θ)，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(a1)2＋b2＋2(cos，sin)(cos θ，sin θ)＋…＋(a141)2＋b2＋2(cos，sin)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(－θ)，所以y的最大值为284. 题型三　平行(共线)向量的坐标运算 【例3】已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2). (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积. 【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B. 由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形. (2)因为m⊥p，所以m·p＝0，即 a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab. 由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 所以(ab)2－3ab－4＝0. 所以ab＝4或ab＝－1(舍去). 所以S△ABC＝absin C＝×4×＝. 【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则 ①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0. 【变式训练3】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cos C，cos C＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为(　　) A.10－5 B.10＋5 C.10－2 D.10＋2 【解析】由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－或cos C＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2?ab≤25，所以c2≥75，即c≥5，所以a＋b＋c≥10＋5，当且仅当a＝b＝5时，等号成立.故选B. 总结提高 1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算. 2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用. 3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标.
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