4.3 平面向量的数量积及向量的应用
典例精析
题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题
【例1】 已知a，b夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)(a＋2b) ·(a＋b)；
(3)a与(a＋b)的夹角θ.
【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b
＝16＋4－2×4×2×＝12，
所以|a＋b|＝2.
(2)(a＋2b) ·(a＋b)＝a2＋3a·b＋2b2
＝16－3×4×2×＋2×4＝12.
(3)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝16－4×2×＝12.
所以cos θ＝＝＝，所以θ＝.
【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.
【变式训练1】已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则a与b的夹角大小是 .
【解析】由c⊥a?c·a＝0?a2＋a·b＝0，
所以cos θ＝－，所以θ＝120°.
题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题
【例2】 在△ABC中，＝(2，3)， ＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值.
【解析】①当∠A＝90°时，有·＝0，
所以2×1＋3·k＝0，所以k＝－；
②当∠B＝90°时，有·＝0，
又＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，
所以2×(－1)＋3×(k－3)＝0?k＝；
③当∠C＝90°时，有·＝0，
所以－1＋k·(k－3)＝0，
所以k2－3k－1＝0?k＝.
所以k的取值为－，或.
【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.
【变式训练2】△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，
求·＋·＋·.
【解析】因为2·＋2·＋2·
＝(·＋·)＋(·＋·)＋(·＋·)
＝·(＋)＋·(＋)＋·(＋)
＝·＋·＋·
＝－42－62－52＝－77.
所以·＋·＋·＝－.
题型三 平面向量的数量积的综合问题
【例3】数轴Ox，Oy交于点O，且∠xOy＝，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与Ox，Oy同向的单位向量，设P为坐标平面内一点，且＝xe1＋ye2，则点P的坐标为(x，y)，已知Q(－1，2).
(1)求||的值及与Ox的夹角；
(2)过点Q的直线l⊥OQ，求l的直线方程(在斜坐标系中).
【解析】(1)依题意知，e1·e2＝，
且＝－e1＋2e2，
所以2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1·e2＝3.
所以||＝.
又·e1＝(－e1＋2e2) ·e1＝－e＋2e1e2＝0.
所以⊥e1，即与Ox成90°角.
(2)设l上动点P(x，y)，即＝xe1＋ye2，
又⊥l，故⊥，
即[(x＋1)e1＋(y－2)e2] ·(－e1＋2e2)＝0.
所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2) ·＋2(y－2)＝0，
所以y＝2，即为所求直线l的方程.
【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.
【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，点A(5，0).对于某个正实数k，存在函数f(x)＝ax2(a＞0)，使得＝λ (＋)(λ为常数)，其中点P，Q的坐标分别为(1，f(1))，(k，f(k))，则k的取值范围为( )
A.(2，＋∞) B.(3，＋∞)
C.(4，＋∞) D.(8，＋∞)
【解析】如图所示，设＝，＝，＋＝，则＝λ.因为P(1，a)，Q(k，ak2)，＝(1，0)，＝(，)，＝(＋1，)，则直线OG的方程为y＝x，又＝λ，所以P(1，a)在直线OG上，所以a＝，所以a2＝1－.
因为||＝＞1，所以1－＞0，所以k＞2. 故选A.
总结提高
1.本节是平面向量这一章的重要内容，要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a·b) ·c≠a·(b·c)；数量积不满足消去律，即a·b＝a·c推不出b＝c.
2.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直.
3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径.
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