5.2 同角三角函数的关系、诱导公式
典例精析
题型一 三角函数式的化简问题
【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.
【变式训练1】已知f(x)＝，θ∈(，π)，则f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .
【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝＋＝＋＝|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|.
因为θ∈(，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.
所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.
题型二 三角函数式的求值问题
【例2】已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2).
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求 θ的值.
【解析】(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
于是sin(2θ＋)＝－.
又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，
所以2θ＋＝或2θ＋＝.
因此θ＝或θ＝.
【变式训练2】已知tan α＝，则2sin αcos α＋cos2α等于( )
A. B. C. D.2
【解析】原式＝＝＝.故选B.
题型三 三角函数式的简单应用问题
【例3】已知－＜x＜0且sin x＋cos x＝，求：
(1)sin x－cos x的值；
(2)sin3(－x)＋cos3(＋x)的值.
【解析】(1)由已知得2sin xcos x＝－，且sin x＜0＜cos x，
所以sin x－cos x＝－＝－＝－＝－.
(2)sin3 (－x)＋cos3(＋x)＝cos3x－sin3x＝(cos x－sin x)(cos2x＋cos xsin x＋sin2x)
＝×(1－)＝.
【点拨】求形如sin x±cos x的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x±cos x取值符号.
【变式训练3】化简.
【解析】原式＝
＝＝.
总结提高
1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.
2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.
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