5.3 两角和与差、二倍角的三角函数
典例精析
题型一 三角函数式的化简
【例1】化简(0＜θ＜π).
【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜＜，
所以原式＝
＝＝－cos θ.
【点拨】先从角度统一入手，将θ化成，然后再观察结构特征，如此题中sin2－cos2＝－cos θ.
【变式训练1】化简.
【解析】原式＝＝＝＝cos 2x.
题型二 三角函数式的求值
【例2】已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值.
【解析】(1)由sin －2cos ＝0?tan ＝2，所以tan x＝＝＝－.
(2)原式＝
＝＝＝＋1＝(－)＋1＝.
【变式训练2】＝ .
【解析】原式＝＝＝.
题型三 已知三角函数值求解
【例3】已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
【解析】因为tan 2(α－β)＝＝，
所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝＝1，
又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝，
因为α∈(0，π)，所以0＜α＜，
又＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－.
【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.
【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是( )
A.α＝β B.α＜β
C.α＞β D.以上都有可能
【解析】方法一：因为2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤，又α是锐角，所以α≤30°.
又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.
方法二：因为2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，
所以sin α＜sin β.
又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B.
总结提高
1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.
(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；
(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；
(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.
2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.
【点此下载】