5.5 三角函数的图象和性质
典例精析
题型一 三角函数的周期性与奇偶性
【例1】已知函数f(x)＝2sin cos ＋cos .
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)令g(x)＝f(x＋)，判断g(x)的奇偶性.
【解析】(1)f(x)＝2sin cos ＋cos ＝sin ＋cos ＝2sin(＋)，
所以f(x)的最小正周期T＝＝4π.
(2)g(x)＝f(x＋)＝2sin[(x＋)＋]＝2sin(＋)＝2cos .
所以g(x)为偶函数.
【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.
【变式训练1】函数y＝sin2x＋sin xcos x的最小正周期T等于( )
A.2π B.π C. D.
【解析】y＝＋sin 2x＝(sin 2x－cos 2x)＋
＝sin(2x－)＋，所以T＝＝π.故选B.
题型二 求函数的值域
【例2】求下列函数的值域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝2cos(＋x)＋2cos x.
【解析】(1)f(x)＝＝＝2cos2x＋2cos x
＝2(cos x＋)2－，
当cos x＝1时，f(x)max＝4，但cos x≠1，所以f(x)＜4，
当cos x＝－时，f(x)min＝－，所以函数的值域为[－，4).
(2)f(x)＝2(cos cos x－sin sin x)＋2cos x
＝3cos x－sin x＝2cos(x＋)，
所以函数的值域为[－2，2].
【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.
【变式训练2】求y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域.
【解析】令t＝sin x＋cos x，则有t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝.
所以y＝f(t)＝t＋＝(t＋1)2－1.
又t＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，所以－≤t≤.
故y＝f(t)＝(t＋1)2－1(－≤t≤)，
从而f(－1)≤y≤f()，即－1≤y≤＋.
所以函数的值域为[－1，＋].
题型三 三角函数的单调性
【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.
(1)求ω，φ的值；
(2)设g(x)＝f(x)f(x－)，求函数g(x)的单调递增区间.
【解析】(1)由图可知，T＝4(－)＝π，ω＝＝2.
又由f()＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.
因为|φ|＜π，所以φ＝－.
(2)f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x.
所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x－)]＝cos 2xsin 2x＝sin 4x.
所以当2kπ－≤4x≤2kπ＋，即－≤x≤＋(k∈Z)时g(x)单调递增.
故函数g(x)的单调增区间为[－，＋](k∈Z).
【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.
【变式训练3】使函数y＝sin(－2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是( )
A.[0，] B.[，]
C.[，] D.[，π]
【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.
总结提高
1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.
2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.
3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.
4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.
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