5.6 函数y＝Asin(ωx＋)的图象和性质
典例精析
题型一 “五点法”作函数图象
【例1】设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到.
【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin(ωx＋)，
又因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋)，
所以函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的振幅为2，初相为.
(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.
(3)把y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位，得到y＝sin(x＋)的图象，再把
y＝sin(x＋)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋)的图象，然后把y＝sin(2x＋)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋)的图象.
【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，，π，，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.
【变式训练1】函数
的图象如图所示，则( )
A.k＝，ω＝，φ＝
B.k＝，ω＝，φ＝
C.k＝，ω＝2，φ＝
D.k＝－2，ω＝，φ＝
【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k＝.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T＝4×(－)＝4π，故ω＝.将点(，0)代入解析式y＝2sin(x＋φ)，得×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.
题型二 三角函数的单调性与值域
【例2】已知函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.
【解析】(1)f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋.
令2ωx＋＝，将x＝代入可得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋，经过题设的变化得到函数g(x)＝sin(x－)＋，
当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值.
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，
即[4kπ＋，4kπ＋π](k∈Z)为函数的单调递减区间.
【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.
【变式训练2】若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点(，0)对称，则|φ|的最小值是( )
A. B. C. D.
【解析】将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位后得到y＝2sin[3(x－)＋φ]＝2sin(3x－＋φ)的图象.
因为该函数的图象关于点(，0)对称，所以2sin(3×－＋φ)＝2sin(＋φ)＝0，
故有＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z).
当k＝0时，|φ|取得最小值，故选A.
题型三 三角函数的综合应用
【例3】已知函数y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).
(1)求φ的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).
【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝－cos(2ωx＋2φ)，
因为y＝f(x)的最大值为2，又A＞0，
所以＋＝2，所以A＝2，
又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，
所以×＝2，所以ω＝.
所以f(x)＝－cos(x＋2φ)＝1－cos(x＋2φ)，
因为y＝f(x)过点(1,2)，所以cos(＋2φ)＝－1.
所以＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋(k∈Z)，
又因为0＜φ＜，所以φ＝.
(2)方法一：因为φ＝，
所以y＝1－cos(x＋)＝1＋sin x，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，
又因为y＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
方法二：因为f(x)＝2sin2(x＋φ)，
所以f(1)＋f(3)＝2sin2(＋φ)＋2sin2(＋φ)＝2，
f(2)＋f(4)＝2sin2(＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，
又因为y＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
【点拨】函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ，可得x＝，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.
【变式训练3】已知函数f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝ .
【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×＋2＝＋＋2，则由题意知A＋2＝6，＝8，所以A＝4，ω＝，所以f(x)＝2cos x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…观察周期性规律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.
总结提高
1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx＋φ＝0，，π，，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx＋φ的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.
2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.
3.在解决y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质时，应将ωx＋φ视为一个整体x后再与基本函数
y＝sin x的性质对应求解.
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