电子备课系统教学资源--第一章　集合与常用逻辑用语高考导航 -1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 -1.3　简易逻辑联结词、全称量词与存在量-第十章　立体几何高考导航考试要求 -　10.2　空间几何体的表面积与体积 -10.3 空间点、线、面之间的位置关-10.4　直线、平面平行的判定及其性质 -10.5　直线、平面垂直的判定及其性质-10.6　空间向量及其运算典例精析 -10.7　空间角及其求法典例精析题-10.8　立体几何综合问题典例精析 -第十一章　算法初步高考导航考试要-11.2　基本算法语句典例精析题型-11.3　算法案例典例精析题型一　-第十二章　排列组合、二项式定理、概率 -12.10　离散型随机变量的期望与方差 -12.11　正态分布典例精析题型一-12.2　排列与组合典例精析题型一-12.3二项式定理典例精析题型一　-12.4　随机事件的概率与概率的基本性质-12.5　古典概型典例精析题型一　-12.6　几何概型典例精析题型一　-12.7　条件概率与事件的独立性典例-12.8　离散型随机变量及其分布列典-12.9　独立重复试验与二项分布典例-第十三章　统计案例高考导航考试要-13.2　两变量间的相关性、回归分析和独-第十四章　推理与证明高考导航考试-14.2　直接证明与间接证明典例精析-14.3　数学归纳法典例精析题型一-第十六章　几何证明选讲高考导航考-16.2　直线与圆的位置关系和圆锥曲线的-第十七章　坐标系与参数方程高考导航 -17.2　参数方程典例精析题型一　-第十八章　不等式选讲高考导航考试-18.2　不等式的证明(一) 典例精析-18.3　不等式的证明(二) 典例精析 -18.4　柯西不等式和排序不等式典例-2.10函数的综合应用典例精析题型-第二章　函　数高考导航考试要求-2.2　函数的单调性典例精析题型一-　2.3　函数的奇偶性典例精析题型-　2.4　二次函数典例精析题型一　-2.5　指数与指数函数典例精析题型-2.6　对数与对数函数典例精析题型-2.7　幂函数与函数的图象典例精析 -2.8　函数与方程典例精析题型一　-2.9　函数模型及其应用典例精析题-第三章　导数及其应用高考导航考试-3.1导数的应用(一) 典例精析题型-3.3　导数的应用(二) 典例精析 -3.4　定积分与微积分基本定理典例-第四章　平面向量高考导航考试要求-4.2　平面向量的基本定理及其坐标表示 -4.3　平面向量的数量积及向量的应用 -第五章　三角函数高考导航考试要求-5.2　同角三角函数的关系、诱导公式 -5.3　两角和与差、二倍角的三角函数 -　5.4　三角恒等变换典例精析题型-　5.5　三角函数的图象和性质典例精-　5.6　函数y＝Asin(ωx＋)的-5.7　正弦定理和余弦定理典例精析

5.7　正弦定理和余弦定理典例精析题型一　利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，AB＝，BC＝1，cos C＝. (1)求sin A的值；(2)求的值. 【解析】(1)由cos C＝得sin C＝. 所以sin A＝＝＝. (2)由(1)知，cos A＝. 所以cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C ＝－＋＝－. 所以·＝·(＋)＝＋＝－1＋1××cos B＝－1－＝－. 【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识. 【变式训练1】在△ABC中，已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为，则∠C＝　　　. 【解析】S＝＝absin C. 所以sin C＝＝cos C.所以tan C＝1，又∠C∈(0，π)，所以∠C＝. 题型二　利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A＝sin(＋B)sin(－B)＋sin2B. (1)求角A的值； (2)若＝12，a＝2，求b，c(其中b＜c). 【解析】(1)因为sin2A＝(cos B＋sin B)(cos B－sin B)＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝，所以sin A＝±.又A为锐角，所以A＝. (2)由＝12可得cbcos A＝12.① 由(1)知A＝，所以cb＝24.② 由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，将a＝2及①代入得c2＋b2＝52.③ ③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10. 因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根. 又b＜c，所以b＝4，c＝6. 【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力. 【变式训练2】在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(2a－c)cos B＝ bcos C. (1)求角B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积. 【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入(2a－c)cos B＝bcos C，整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B，即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A，在△ABC中，sin A＞0,2cos B＝1，因为∠B是三角形的内角，所以B＝60°. (2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac－2accos B，将b＝，a＋c＝4代入整理，得ac＝3. 故S△ABC＝acsin B＝sin 60°＝. 题型三　正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2013陕西模拟)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点需要多长时间？【解析】由题意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得＝，所以DB＝＝＝＝＝10(海里). 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时). 所以，救援船到达D点需要1小时. 【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是： (1)根据题意，抽象地构造出三角形； (2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系； (3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解； (4)给出结论. 【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件　　　时，该船没有触礁危险. 【解析】由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝＞n.所以α与β的关系满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时，船没有触礁危险. 总结提高 1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A＞B与sin A＞sin B是一种等价关系. 2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解. 3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.

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