第六章 数 列
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命题展望
1.数列的概念和简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）； （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.
2.等差数列、等比数列
（1）理解等差数列、等比数列的概念；
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；
（3）能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
本章重点：1.等差数列、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式及有关性质;
2.注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、分组求和法、函数与方程思想、数学模型思想以及离散与连续的关系.
本章难点：1.数列概念的理解；2.等差等比数列性质的运用；3.数列通项与求和方法的运用.
仍然会以客观题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式及性质，在解答题中，会保持以前的风格，注重数列与其他分支的综合能力的考查，在高考中，数列常考常新，其主要原因是它作为一个特殊函数，使它可以与函数、不等式、解析几何、三角函数等综合起来，命出开放性、探索性强的问题，更体现了知识交叉命题原则得以贯彻；又因为数列与生产、生活的联系，使数列应用题也倍受欢迎.
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6.1 数列的概念与简单表示法
典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：
(1)7,77,777,7 777，…
(2)，－，，－，…
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…
【解析】(1)将数列变形为·(10－1)，(102－1)，(103－1)，…，(10n－1)，
故an＝(10n－1).
(2)分开观察，正负号由(－1)n＋1确定，分子是偶数2n，分母是1×3,3×5,5×7， …，(2n－1)(2n＋1)，故数列的通项公式可写成an＝(－1)n＋1.
(3)将已知数列变为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,9＋0，….
故数列的通项公式为an＝n＋.
【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律，从而求得通项.
【变式训练1】如下表定义函数f(x)：
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
1
2
对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2,3,4，…，则a2 008的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】a1＝4，a2＝1，a3＝5，a4＝2，a5＝4，…，可得an＋4＝an.
所以a2 008＝a4＝2，故选B.
题型二 应用an＝求数列通项
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn，分别求其通项公式：
(1)Sn＝3n－2；
(2)Sn＝(an＋2)2 (an＞0).
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1，
又a1＝1不适合上式，
故an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋2)2，解得a1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，
所以(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，所以(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0，
又an＞0，所以an－an－1＝4，
可知{an}为等差数列，公差为4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
a1＝2也适合上式，故an＝4n－2.
【点拨】本例的关键是应用an＝求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足“n≥2”的一般性通项公式.
【变式训练2】已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )
A.2n－1 B.()n－1 C.n2 D.n
【解析】由an＝n(an＋1－an)?＝.
所以an＝××…×＝××…××＝n，故选D.
题型三 利用递推关系求数列的通项
【例3】已知在数列{an}中a1＝1，求满足下列条件的数列的通项公式：
(1)an＋1＝；(2)an＋1＝2an＋2n＋1.
【解析】(1)因为对于一切n∈N*，an≠0，
因此由an＋1＝得＝＋2，即－＝2.
所以{}是等差数列，＝＋(n－1)·2＝2n－1，即an＝.
(2)根据已知条件得＝＋1，即－＝1.
所以数列{}是等差数列，＝＋(n－1)＝，即an＝(2n－1)·2n－1.
【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，可以通过进一步的计算，将其进行转化，构造新数列求通项，进而可以求得所求数列的通项公式.
【变式训练3】设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求an.
【解析】因为数列{an}是首项为1的正项数列，
所以anan＋1≠0，所以－＋1＝0，
令＝t，所以(n＋1)t2＋t－n＝0，
所以[(n＋1)t－n](t＋1)＝0，
得t＝或t＝－1(舍去)，即＝.
所以····…·＝····…·，所以an＝.
总结提高
1.给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一.
2.由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况.
3.给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
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