6.2 等差数列
典例精析
题型一 等差数列的判定与基本运算
【例1】已知数列{an}前n项和Sn＝n2－9n.
(1)求证：{an}为等差数列；(2)记数列{|an|}的前n项和为Tn，求 Tn的表达式.
【解析】(1)证明：n＝1时，a1＝S1＝－8，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10，
当n＝1时，也适合该式，所以an＝2n－10 (n∈N*).
当n≥2时，an－an－1＝2，所以{an}为等差数列.
(2)因为n≤5时，an≤0，n≥6时，an＞0.
所以当n≤5时，Tn＝－Sn＝9n－n2，
当n≥6时，Tn＝＋＋…＋＋＋…＋
＝－a1－a2－…－a5＋a6＋a7＋…＋an
＝Sn－2S5＝n2－9n－2×(－20)＝n2－9n＋40，
所以，
【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式.
【变式训练1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S21＝42，若记bn＝，则数列{bn}( )
A.是等差数列，但不是等比数列 B.是等比数列，但不是等差数列
C.既是等差数列，又是等比数列 D.既不是等差数列，又不是等比数列
【解析】本题考查了两类常见数列，特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列{an}的首项与公差之间的关系从而确定数列{bn}的通项是解决问题的突破口.{an}是等差数列，则S21＝21a1＋d＝42.
所以a1＋10d＝2，即a11＝2.所以bn＝＝22－(2a 11)＝20＝1，即数列{bn}是非0常数列，既是等差数列又是等比数列.答案为C.
题型二 公式的应用
【例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由.
【解析】(1)依题意，有
S12＝12a1＋＞0，S13＝13a1＋＜0，
即
由a3＝12，得a1＝12－2d.③
将③分别代入①②式，得
所以－＜d＜－3.
(2)方法一：由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an＋1＜0，
则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值.
由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，
即a6＋a7＞0，a7＜0，因此a6＞0，a7＜0，
故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大.
方法二：由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an＋1＜0，
则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值.
故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大.
【变式训练2】在等差数列{an}中，公差d＞0，a2 008，a2 009是方程x2－3x－5＝0的两个根，Sn是数列{an}的前n项的和，那么满足条件Sn＜0的最大自然数n＝ .
【解析】由题意知又因为公差d＞0，所以a2 008＜0，a2 009＞0. 当
n＝4 015时，S4 015＝×4 015＝a2 008×4 015＜0；当n＝4 016时，S4 016＝×4 016＝×4 016＞0.所以满足条件Sn＜0的最大自然数n＝4 015.
题型三 性质的应用
【例3】某地区2010年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少10人.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
(2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人？
【解析】(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为40，公差为40的等差数列.
所以9月10日的新感染者人数为40＋(10－1)×40＝400(人).
所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390(人).
(2)9月份前10天的新感染者人数和为S10＝＝2 200(人)，
9月份后20天流感病毒的新感染者的人数，构成一个首项为390，公差为－10的等差数列.
所以后20天新感染者的人数和为T20＝20×390＋×(－10)＝5 900(人).
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人).
【变式训练3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为
【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，
所以≤a4≤3＋d，即5＋3d≤6＋2d，所以d≤1，
所以a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值为4.
总结提高
1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am＝an＋(m－n)d.
2.在五个量a1、d、n、an、Sn中，知其中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.
3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a＋d，a＋2d外，还可设a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3m，a－m，a＋m，a＋3m.
4.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.
【点此下载】