6.5 数列的综合应用
典例精析
题型一 函数与数列的综合问题
【例1】已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列.
(1)设a是常数，求证：{an}成等比数列；
(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n项和是Sn，当a＝时，求Sn.
【解析】(1)f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即logaan＝2n＋2，所以an＝a2n＋2，
所以＝＝a2(n≥2)为定值，所以{an}为等比数列.
(2)bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2，
当a＝时，bn＝(2n＋2) ·()2n＋2＝(n＋1) ·2n＋2，
Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1) ·2n＋2，
2Sn＝2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，
两式相减得
－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3＝16＋－(n＋1)·2n＋3，
所以Sn＝n·2n＋3.
【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解.
【变式训练1】设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是( )
A. B. C. D.
【解析】由f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1得m＝2，a＝1.
所以f(x)＝x2＋x，则＝＝－.
所以Sn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.故选C.
题型二 数列模型实际应用问题
【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2009年底全县的绿化率已达30%，从2010年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.
(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a1＝，经过n年绿化面积为an＋1，求证：an＋1＝an＋；
(2)至少需要多少年(取整数)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？
【解析】(1)证明：由已知可得an确定后，an＋1可表示为an＋1＝an(1－4%)＋(1－an)16%，
即an＋1＝80%an＋16%＝an＋.
(2)由an＋1＝an＋有，an＋1－＝(an－)，
又a1－＝－≠0，所以an＋1－＝－·()n，即an＋1＝－·()n，
若an＋1≥，则有－·()n≥，即()n－1≤，(n－1)lg ≤－lg 2，
(n－1)(2lg 2－lg 5)≤－lg 2，即(n－1)(3lg 2－1)≤－lg 2，
所以n≥1＋＞4，n∈N*，
所以n取最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题.
【变式训练2】规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再后退2步”的规律进行移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是( )
A.P(2 006)＝402 B.P(2 007)＝403
C.P(2 008)＝404 D.P(2 009)＝405
【解析】考查数列的应用.构造数列{Pn}，由题知P(0)＝0，P(5)＝1，P(10)＝2，P(15)＝3.所以P(2 005)＝401，P(2 006)＝401＋1＝402，P(2 007)＝401＋1＋1＝403，P(2 008)＝401＋
3＝404，P(2 009)＝404－1＝403.故D错.
题型三 数列中的探索性问题
【例3】{an}，{bn}为两个数列，点M(1,2)，An(2，an)，Bn(，)为直角坐标平面上的点.
(1)对n∈N*，若点M，An，Bn在同一直线上，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足log2Cn＝，其中{Cn}是第三项为8，公比为4的等比数列，求证：点列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)在同一直线上，并求此直线方程.
【解析】(1)由＝，得an＝2n.
(2)由已知有Cn＝22n－3，由log2Cn的表达式可知：
2(b1＋2b2＋…＋nbn)＝n(n＋1)(2n－3)，①
所以2[b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1]＝(n－1)n(2n－5).②
①－②得bn＝3n－4，所以{bn}为等差数列.
故点列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)共线，直线方程为y＝3x－4.
【变式训练3】已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(n∈N*).若a1＞1，a4＞3，S3≤9，则通项公式an＝ .
【解析】本题考查二元一次不等式的整数解以及等差数列的通项公式.
由a1＞1，a4＞3，S3≤9得
令x＝a1，y＝d得
在平面直角坐标系中画出可行域如图所示.符合要求的整数点只有(2,1)，即a1＝2，d＝1.所以an＝2＋n－1＝n＋1.故答案填n＋1.
总结提高
1.数列模型应用问题的求解策略
(1)认真审题，准确理解题意；
(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、前n项和公式以及性质求解，或通过探索、归纳构造递推数列求解；
(3)验证、反思结果与实际是否相符.
2.数列综合问题的求解策略
(1)数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列的知识求解；
(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式，然后求解问题.
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