第七章 不等式
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命题展望
1.不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.
2.一元二次不等式
(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；
(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
3.二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
(2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
4.基本不等式：≥ (a，b≥0)
(1)了解基本不等式的证明过程；
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
本章重点：1.用不等式的性质比较大小；2.简单不等式的解法；3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题；4.基本不等式的应用.
本章难点：1.含有参数不等式的解法；2.不等式的应用；3.线性规划的应用.
不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点.高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合，将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查.
线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外，也考查线性规划方法的迁移.
知识网络
7.1 不等式的性质
典例精析
题型一 比较大小
【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.
【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，
当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；
当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；
综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.
【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差；
②变形；③判断符号；④得出结论.
【变式训练1】已知m＝a＋(a＞2)，n＝x－2(x≥)，则m，n之间的大小关系为( )
A.m＜n B.m＞n C.m≥n D.m≤n
【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.
m＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2＝4.
题型二 确定取值范围
【例2】已知－≤α＜β≤，求，的取值范围.
【解析】因为－≤α＜β≤，所以－≤＜，－＜≤，
两式相加得－＜＜.
又－≤＜，所以－≤＜，
又因为α＜β，所以＜0，所以－≤＜0，
综上－＜＜，－≤＜0为所求范围.
【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.
【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.
令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，
所以
故f(3)＝－(a－c)＋(4a－c)∈[－1,20].
题型三 开放性问题
【例3】已知三个不等式：①ab＞0；② ＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？
【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:＞?＞0.
(1)由ab＞0，bc＞ad?＞0，即①③?②；
(2)由ab＞0，＞0?bc－ad＞0?bc＞ad，即①②?③；
(3)由bc－ad＞0，＞0?ab＞0，即②③?①.
故可组成3个正确命题.
【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.
【变式训练3】a、b、c、d均为实数，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是_______________(只要写出符合条件的一组即可).
【解析】写出一个等比式子，如＝＞0.此时内项的积和外项的积相等，减小的分子，把上式变成不等式＞＞0，此时不符合ad＜bc的条件，进行变换可得＞＞0，此时2×
(－2)＜1×(－3).故(2,1，－3，－2)是符合要求的一组值.
总结提高
1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab＞0，a＞b?＜这一性质时，不可弱化为a＞b?＜，也不可强化为a＞b＞0?＜.
2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.
3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.
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