7.2 简单不等式的解法
典例精析
题型一 一元二次不等式的解法
【例1】解下列不等式：
(1)x2－2x－3＞0；
(2)已知A＝{x|3x2－7x＋2＜0}，B＝{x|－2x2＋x＋1≤0}，求A∪B，(?RA)∩B.
【解析】(1)方程两根为x1＝－1，x2＝3，
所以原不等式解集为{x|x＜－1或x＞3}.
(2)因为A＝{x|＜x＜2}，?RA＝{x|x≤或x≥2}，B＝{x|x≤－或x≥1}，
所以A∪B＝{x|x≤－或x＞}，(?RA)∩B＝{x|x≤－或x≥2}.
【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.
【变式训练1】设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( )
A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B.[－3，－1]
C.[－3，－1]∪(0，＋∞) D.[－3，＋∞)
【解析】选C.由已知对x≤0时f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－4)＝f(0)，知其对称轴为x＝－2，故－＝－2?b＝4.
又f(－2)＝0，代入得c＝4，故f(x)＝
分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪(0，＋∞).
题型二 解含参数的一元二次不等式问题
【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0 (m∈R).
【解析】当m＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；
当m≠0时，可分为两种情况：
(1)m＞0 时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝.
所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞}；
(2)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，
其对应方程两根为x1＝－1，x2＝，x2－x1＝－(－1)＝.
①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，
不等式的解集为{x|－1＜x＜}；
②m＝－2时，x2＝x1＝－1，
原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为?；
③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，
不等式解集为{x|＜x＜－1}.
综上所述：
当m＜－2时，解集为{x|－1＜x＜}；
当m＝－2时，解集为?；
当－2＜m＜0时，解集为{x|＜x＜－1}；
当m＝0时，解集为{x|x＜－1}；
当m＞0时，解集为{x|x＜－1或x＞}.
【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.
【变式训练2】解关于x的不等式＞0.
【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；
当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞或x＜－1}；
当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜－1}；
当a＝－1时，不等式的解集为?；
当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜}.
题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系
【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0，
且ax2＋bx＋c＝0的两根为1、3，则－＝1＋3，＝1×3，即＝－4，＝3.
又a＜0，不等式cx2＋bx＋a＜0可以化为x2＋x＋1＞0，即3x2－4x＋1＞0，
解得x＜或x＞1.
【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.
【变式训练3】(2012江西模拟)若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝ .
【解析】.作出函数y＝和y＝k(x＋2)－的图象，函数y＝的图象是一个半圆，函数y＝k(x＋2)－的图象是过定点(－2，－)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a＝1，即
1是方程＝k(x＋2)－的根，代入得k＝.
总结提高
1.解一元二次不等式的一般步骤:
(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根；
(4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.
2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.
3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.
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