7.4 基本不等式及应用
典例精析
题型一 利用基本不等式比较大小
【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A.x＋y≥2(＋1) B.x＋y≤2(＋1)
C.x＋y≤2(＋1)2 D.x＋y≥(＋1)2
(2)已知a，b∈R＋，则，，，的大小顺序是 .
【解析】(1)选A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤()2，所以()2≥1＋(x＋y).
解得x＋y≥2(＋1)或x＋y≤2(1－).
因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(＋1).
(2)由≥有a＋b≥2，即a＋b≥，所以≥.
又＝≤，所以≥，
所以≥≥≥.
【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.
【变式训练1】设a＞b＞c，不等式＋＞恒成立，则λ的取值范围是 .
【解析】(－∞，4).因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.
而(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)](＋)≥4，所以λ＜4.
题型二 利用基本不等式求最值
【例2】(1)已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值为 ；
(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数f′(x)，f′(0)＞0，对任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为( )
A.3 B. C.2 D.
【解析】(1)因为x＜，所以5－4x＞0.
所以y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.
所以x＝1时，ymax＝1.
(2)选C.因为f(x)≥0，所以
所以c≥.又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＞0，
＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2，
当且仅当c＝且4a2＝b2时等号成立.
【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.
【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的取值范围.
【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋y，
cd＝xy，所以＝＝2＋＋，
当＞0时，≥4；当＜0时，≤0，
故的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).
题型三 应用基本不等式解实际应用问题
【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；
(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.
【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1，则
y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时，取等号.
即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则
y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.9＝＋9x＋9 729(x≥35).
因为y2′＝9－，当x≥35时，y2′＞0.
所以y2＝＋9x＋9 729在[35，＋∞)上是增函数.
所以x＝35时，y2取最小值.
由＜10 989知，该厂可以利用此优惠条件.
【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.
【变式训练3】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.
【解析】因为a＞0，b＞0,2a＋b＝1，
所以4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab，
且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤.
所以S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤，
当且仅当a＝，b＝时，等号成立.
总结提高
1.基本不等式的几种常见变形公式：
ab≤ ()2≤(a，b∈R)；
≤≤≤(a＞0，b＞0).
注意不等式成立的条件及等号成立的条件.
2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.
3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.
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