7.5 不等式的综合应用
典例精析
题型一 含参数的不等式问题
【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有－2，求k的取值范围.
【解析】由x2－x－2＞0有x＜－1或x＞2，
由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0.
因为－2是原不等式组的解，所以k＜2.
由(2x＋5)(x＋k)＜0有－＜x＜－k.
因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，
故k的取值范围是[－3,2).
【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.
【变式训练1】不等式(－1)na＜2＋对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】当n为奇数时，－a＜2＋，即a＞－(2＋).
而－(2＋)＜－2，则a≥－2；
当n为偶数时，a＜2－，而2－≥2－＝，所以a＜.
综上可得－2≤a＜.
【点拨】不等式中出现了(－1)n的时候，常常分n为奇数和偶数进行分类讨论.
题型二 不等式在函数中的应用
【例2】已知函数f(x)＝在区间[－1,1]上是增函数.
(1)求实数a的值组成的集合A；
(2)设x1，x2是关于x的方程f(x)＝的两个相异实根，若对任意a∈A及t∈[－1,1]，不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)f′(x)＝，
因为f(x)在[－1,1]上是增函数，所以当x∈[－1,1]时，f′(x)≥0恒成立，
令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立.
所以A＝{a|－1≤a≤1}.
(2)由f(x)＝得x2－ax－2＝0.
设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2.
从而|x1－x2|＝＝，
因为a∈[－1,1]，所以≤3，即|x1－x2|max＝3.
不等式对任意a∈A及t∈[－1,1]不等式恒成立，即m2＋tm－2≥0恒成立.
设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，则
解得m≥2或m≤－2.
故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.
【变式训练2】设a，b＞0，且ab＝1，不等式＋≤λ恒成立，则λ的取值范围是 .
【解析】[1，＋∞).因为ab＝1，所以＋＝≤＝1，所以λ≥1.
题型三 不等式在实际问题中的应用
【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火
50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？
【解析】设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则
t＝＝，
y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费
＝125xt＋100x＋60(500＋100t)
＝125x×＋100x＋30 000＋
＝100(x－2)＋＋31 450
≥2＋31 450＝36 450，
当且仅当100(x－2)＝，即x＝27时，y有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.
【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.
【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？
【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S，
则半圆的周长为，
因为操场周长为400，所以2x＋2×＝400，
即2x＋πy＝400(0＜x＜200,0＜y＜)，
所以S＝xy＝·(2x)·(πy)≤·2＝，
由解得
所以当且仅当时等号成立，
即把矩形的长和宽分别设计为100 m和m时，矩形区域面积最大.
总结提高
1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.
不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.
2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.
3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.
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