第八章 直线和圆的方程
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1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.
7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.
10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.
本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.
本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；5.圆的方程的应用；6.直线与圆的方程的综合应用.
本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查.
直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题；如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等.
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8.1 直线与方程
典例精析
题型一 直线的倾斜角
【例1】直线2xcos α－y－3＝0，α∈[，]的倾斜角的变化范围是( )
A.[，] B.[，]
C.[，] D.[，]
【解析】直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
由于α∈[，]，所以≤cos α≤，k＝2cos α∈[1，].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]，
由于θ∈[0，π)，所以θ∈[，]，即倾斜角的变化范围是[，]，故选B.
【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.
【变式训练1】已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，当m∈ 时，直线MN的倾斜角为锐角；当m＝ 时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈ 时，直线MN的倾斜角为钝角.
【解析】直线MN的倾斜角为锐角时，k＝＝＞0?m＜－5或m＞1；
直线MN的倾斜角为直角时，2m＋3＝m－2?m＝－5；
直线MN的倾斜角为钝角时，k＝＝＜0?－5＜m＜1.
题型二 直线的斜率
【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.
【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝＝，
设直线AB的倾斜角为θ，则tan θ＝，
l的倾斜角为2θ，tan 2θ＝＝＝.
所以直线l的斜率为.
【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.
【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sin α＋cos α＝，则直线l的斜率为( )
A. B. C.－ D.－或－
【解析】选C.sin α＋cos α＝?sin αcos α＝－＜0?
sin α＝，cos α＝－或cos α＝，sin α＝－(舍去)，
故直线l的斜率k＝tan α＝＝－.
题型三 直线的方程
【例3】求满足下列条件的直线方程.
(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等；
(2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.
【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x－3y＝0；当截距不为0时，设方程为＋＝1，把(3,2)代入，得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；
当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以＝2，解得k＝－，方程为3x＋4y－10＝0.
故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.
【变式训练3】求经过点P(3，－4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.
【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y＝kx.
因为直线过点P(3，－4)，所以－4＝3k，得k＝－.此时直线方程为y＝－x.
当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为＋＝1，
因为直线过点P(3，－4)，所以a＝3＋4＝7.此时方程为x－y－7＝0.
综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x－y－7＝0.
题型四 直线方程与最值问题
【例4】过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程.
【解析】方法一：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由于点P在直线上，所以＋＝1.
·≤()2＝，
当＝＝时，即a＝4，b＝2时，·取最大值，
即S△AOB＝ab取最小值4，
所求的直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
方法二：设直线方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，
直线与x轴的交点为A(，0)，直线与y轴的交点为B(0，－2k＋1)，
由题意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.
S△AOB＝(1－2k) ·＝[(－)＋(－4k)＋4]≥[2＋4]＝4.
当－＝－4k，即k＝－时，S△AOB有最小值，
所求的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.
【变式训练4】已知直线l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R).求直线l的斜率的取值范围.
【解析】由直线l的方程得其斜率k＝.
若m＝0，则k＝0；
若m＞0，则k＝≤＝，所以0＜k≤；
若m＜0，则k＝＝－≥－＝－，所以－≤k＜0.
综上，－≤k≤.
总结提高
1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k＝求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tan α求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.
2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).
3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.
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