8.5 直线与圆的综合应用
典例精析
题型一 直线和圆的位置关系的应用
【例1】已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R).
(1)求证：不论m为何值，直线l恒过定点；
(2)判断直线l与圆C的位置关系；
(3)求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.
【解析】(1)证明：直线方程可写作x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由方程组可得
所以不论m取何值，直线l恒过定点(3,1).
(2)由＝＜5，
故点(3,1)在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆C相交.
(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短.
|AB|＝2＝2＝4，
此时 k＝－，即－＝－＝2，
解得m＝－，代入原直线方程，得l的方程为2x－y－5＝0.
【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.
【变式训练1】若函数f(x)＝－eax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是( )
A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不能确定
【解析】选B.f(x)＝－eax?f′(x)＝－eax?f′(0)＝－.
又f(0)＝－，所以切线l的方程为y＋＝－(x－0)，即ax＋by＋1＝0，
由l与圆C：x2＋y2＝1相离得＞1?＜1，即点P(a，b)在圆内，故选B.
题型二 和圆有关的对称问题
【例2】设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足·＝0.
(1)求m的值；
(2)求直线PQ的方程.
【解析】(1)曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圆心为(－1,3)，半径为3的圆.
因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
所以圆心(－1,3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.
(2)因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线PQ的方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得2－3＜b＜2＋3.
x1＋x2＝b－4，x1x2＝，
y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝，
因为·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0，得b＝1.
故所求的直线方程为y＝－x＋1.
【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.
【变式训练2】若曲线x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q满足①关于直线kx－y＋4＝0对称；②OP⊥OQ，则直线PQ的方程为 .
【解析】由①知直线kx－y＋4＝0过圆心(－，3)，所以k＝2，故kPQ＝－.
设直线PQ的方程为y＝－x＋t，与圆的方程联立消去y，
得x2＋(4－t)x＋t2－6t＋3＝0.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(－x1＋t)(－x2＋t)＝0，所以(x1＋x2)(－t)＋x1x2＋t2＝0.
由(*)知，x1＋x2＝，x1x2＝，代入上式，解得t＝或t＝.
此时方程(*)的判别式Δ＞0. 从而直线的方程为y＝－x＋或y＝－x＋，
即x＋2y－3＝0或2x＋4y－5＝0为所求直线方程.
题型三 与圆有关的最值问题
【例3】求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.
【解析】曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0可化为
(x－6)2＋(y－6)2＝18，它表示圆心为(6,6)，半径为3的圆.
作出直线x＋y－2＝0与圆(x－6)2＋(y－6)2＝18，
由图形可知，当所求圆的圆心在直线y＝x上时，半径最小.
设其半径为r，点(6,6)到直线x＋y＝2的距离为5，所以2r＋3＝5，即r＝，
点(0,0)到直线x＋y＝2的距离为，
所求圆的圆心为(2cos 45°，2sin 45°)，即(2,2)，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解
【变式训练3】由直线y＝x＋1上的点向圆C：(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A. B.3 C. D.2
【解析】选A.设M为直线y＝x＋1上任意一点，过点M的切线长为l，则l＝，当|MC|2最小时，l最小，此时MC与直线y＝x＋1垂直，即|MC|＝()2＝18，故l的最小值为.
总结提高
1.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用.
2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用.
3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题.
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