9.2 双曲线
典例精析
题型一 双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.
【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|＝r＋，|BE|＝r－，
所以|AE|－|BE|＝2，又A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,2＜|AB|.
根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.
因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，
故点E的轨迹方程是－＝1(x≥).
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.
【变式训练1】P为双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和
(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选D.
题型二 双曲线几何性质的运用
【例2】双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使＝0，求此双曲线离心率的取值范围.
【解析】设P(x，y)，则由＝0，得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上，
即 (x－)2＋y2＝()2，①
又P在双曲线上，得－＝1，②
由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，
当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去；
当x＝时，满足题意的点P存在，需x＝＞a，
化简得a2＞2b2，即3a2＞2c2，＜，
所以离心率的取值范围是(1，).
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.
【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是 ( )
A.k2－e2＞1 B.k2－e2＜1
C.e2－k2＞1 D. e2－k2＜1
【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－＜k＜，即k2＜＝＝e2－1，故选C.
题型三 有关双曲线的综合问题
【例3】(2013广东模拟)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.
【解析】(1)由题意知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，则有
直线A1P的方程为y＝(x＋)，①
直线A2Q的方程为y＝(x－).②
方法一：联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③
则x≠0，|x|＜.
而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－y＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±.
方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得y2＝(x2－2).③
又点P(x1，y1)在双曲线上，因此－y＝1，即y＝－1.
代入③式整理得＋y2＝1.
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(，0)的直线l的方程为x＋y－＝0.
解方程组得x＝，y＝0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.
故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，－1).
综上分析，轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±.
(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，
联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝，k2＝－.
由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝.
过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由×(－)＝－1，得h＝.
此时，l1，l2的方程分别为y＝x＋与y＝－x＋，
它们与轨迹E分别仅有一个交点(－，)与(，).
所以，符合条件的h的值为或.
【变式训练3】双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于( )
A.1＋2 B.3＋2
C.4－2 D.5－2
【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.
据题意设|AF1|＝x，则|AB|＝x，|BF1|＝x.
由双曲线定义有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a
?(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(＋1)x－x＝4a，即x＝2a＝|AF1|.
故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝＝.
又由定义可得|AF2|＝|AF1|－2a＝2a－2a，即＝2－2a，
两边平方整理得c2＝a2(5－2)?＝e2＝5－2，故选D.
总结提高
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.
2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；当
||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|时，P无轨迹.
3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y＝±x，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.
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