9.3 抛物线
典例精析
题型一 抛物线定义的运用
【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.
(1)抛物线过点P(2，－4)；
(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
【解析】(1)设方程为y2＝mx或x2＝ny.
将点P坐标代入得y2＝8x或x2＝－y.
(2)设A(m，－3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y2＝2px(p≠0)，
由定义得5＝|AF|＝|m＋|，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，
所求方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
【变式训练1】已知P是抛物线y2＝2x上的一点，另一点A(a,0) (a＞0)满足|PA|＝d，试求d的最小值.
【解析】设P(x0，y0) (x0≥0)，则y＝2x0，
所以d＝|PA|＝＝＝.
因为a＞0，x0≥0，
所以当0＜a＜1时，此时有x0＝0，dmin＝＝a；
当a≥1时，此时有x0＝a－1，dmin＝.
题型二 直线与抛物线位置讨论
【例2】(2013湖北模拟)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：
－x＝1(x＞0).
化简得y2＝4x(x＞0).
(2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是 ①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2).
＜0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝，于是不等式②等价于 ·＋y1y2－(＋)＋1＜0
?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.
由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2).
【变式训练2】已知抛物线y2＝4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则＋＝ .
【解析】?y2－4my＋8m＝0，
所以＋＝＝.
题型三 有关抛物线的综合问题
【例3】已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.
【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x)，B(x2,2x)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝－1，
所以xN＝xM＝＝，所以点N的坐标为(，).
设抛物线在点N处的切线l的方程为y－＝m(x－)，
将y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋－＝0，
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝m2－8(－)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
所以m＝k，即l∥AB.
(2)假设存在实数k，使·＝0，则NA⊥NB，
又因为M是AB的中点，所以|MN|＝|AB|.
由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝(＋4)＝＋2.
因为MN⊥x轴，所以|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝.
又|AB|＝·|x1－x2|＝·
＝·＝·.
所以＝·，解得k＝±2.
即存在k＝±2，使·＝0.
【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.
【变式训练3】已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，过点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是 .
【解析】.
总结提高
1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.
2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.
3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.
4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝(α为AB的倾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝等.
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