第十五章 复 数
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命题展望
1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.
2.了解复数的代数表示法及其几何意义.
3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.
4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用.
本章重点：1.复数的有关概念；2.复数代数形式的四则运算.
本章难点：运用复数的有关概念解题.
近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是试题在试卷中所占比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式出现，多为容易题.在复习过程中，应将复数的概念及运算放在首位.
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15.1 复数的概念及其运算
典例精析
题型一 复数的概念
【例1】 (1)如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝ ；
(2)在复平面内，复数对应的点位于第 象限；
(3)复数z＝3i＋1的共轭复数为＝ .
【解析】 (1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i是实数?1＋m3＝0?m＝－1.
(2)因为＝＝1－i，所以在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限.
(3)因为z＝1＋3i，所以＝1－3i.
【点拨】 运算此类题目需注意复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念.
【变式训练1】(1)如果z＝为纯虚数，则实数a等于( )
A.0 B.－1 C.1 D.－1或1
(2)在复平面内，复数z＝(i是虚数单位)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】(1)设z＝xi，x≠0，则
xi＝?1＋ax－(a＋x)i＝0??或故选D.
(2)z＝＝(1－i)(－i)＝－1－i，该复数对应的点位于第三象限.故选C.
题型二 复数的相等
【例2】(1)已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝ ；
(2)已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝ ；
(3)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根为 ，实数k的值为 .
【解析】(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，又z0＝3＋2i，
代入z·z0＝3z＋z0得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i，
整理得 (2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
则由复数相等的条件得
解得所以z＝1－.
(2)由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i.
则由复数相等的条件得
所以m＋ni＝2＋i.
(3)设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得
由复数相等的充要条件得
解得或
所以方程的实根为x＝或x＝－，
相应的k值为k＝－2或k＝2.
【点拨】复数相等须先化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等得实部与实部相等、虚部与虚部相等.
【变式训练2】(1)设i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是( )
A.－ B.－2 C.2 D.
(2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝ .
【解析】(1)C.＝＝，于是a＋b＝＋＝2.
(2)3.2＋ai＝b＋i?a＝1，b＝2.
题型三 复数的运算
【例3】 (1)若复数z＝－＋i， 则1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008＝ ；
(2)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么z＝ .
【解析】 (1)由已知得z2＝－－i，z3＝1，z4＝－＋i ＝z.
所以zn具有周期性，在一个周期内的和为0，且周期为3.
所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008
＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2 006＋z2 007＋z2 008)
＝1＋z＝＋i.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，
所以解得所以z＝＋i.
【点拨】 解(1)时要注意x3＝1?(x－1)(x2＋x＋1)＝0的三个根为1，ω，，
其中ω＝－＋i，＝－－i， 则
1＋ω＋ω2＝0， 1＋＋2＝0 ，ω3＝1，3＝1，ω·＝1，ω2＝，2＝ω.
解(2)时要注意|z|∈R，所以须令z＝x＋yi.
【变式训练3】(1)复数＋等于( )
A. B. C.－ D.
(2)(2013江西鹰潭)已知复数z＝＋()2 010，则复数z等于( )
A.0 B.2 C.－2i D.2i
【解析】(1)D.计算容易有＋＝.
(2)A.
总结提高
复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化.因此，一些复数问题只需设z＝a＋bi(a，b∈R)代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决.
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