1.1.1集合的含义与表示
其他版本的例题与习题
1.(人教实验B版)用描述法表示下列集合:
(1){-1,1};
(2)大于3的全体偶数构成的集合；
（3)在平面α内，线段AB的垂直平分线.
解：（1)这个集合的一个特征性质可以描述为
绝对值等于1的实数，即｜x｜=1.
于是这个集合可以表示为{x||x|=1}.
（2)这个集合的一个特征性质可以描述为
x＞3,且x=2n,n∈N.
于是这个集合可以表示为{x|x＞3，且x=2n,n∈N}.
(3)设点P为线段AB的垂直平分线上任一点，点P和线段AB都在平面α内，则这个集合的特征性质可以描述为PA=PB.
于是这个集合可以表示为{点P∈平面α｜PA=PB}.
2.(北师大版)用列举法表示下列集合：
（1)由大于3小于10的整数组成的集合；
（2)方程-9=0的解的集合.
解：（1)由大于3小于10的整数组成的集合用列举法可表示为{4,5,6,7,8,9};
(2)方程-9=0的解的集合用列举法可表示为{-3,3}.
3.(北师大版)用描述法表示下列集合：
（1)小于10的所有有理数组成的集合；
（2)所有偶数组成的集合.
解：（1)小于10的所有有理数组成的集合用描述法可表示为{x∈Q｜x＜10};
(2)偶数是能被2整除的数，可以写成x=2n(n∈Z)的形式，因此，偶数的集合用描述法可表示为{x|x=2n,n∈Z}.
4.（北师大版)用适当的方法表示下列集合：
（1)小于20的素数组成的集合；
（2)方程-4=0的解的集合；
（3)由大于3小于9的实数组成的集合；
（4)所有奇数组成的集合.
解：（1){2,3,5,7,11,13,17,19}；（2){－2,2}；
（3){x|30的所有解组成的集合；
（2)到定点O的距离等于定长r的点P的集合；
（3)方程组的解集；
（4)抛物线－2x－3上的点的集合；
（5){1,4,7,10,13}；
（6){-2,-4,-6,-8,-10,-12}.
思路分析：集合的元素可以是实数也可以是几何图形,特别是直角坐标系内的点是与有序实数对(x,y)一一对应的,在用描述法表示集合时,要“先定元,再定性”.
解：(1){x|－x－2>0}；
(2){P||PO|=r(O是定点,r是定长)}；
(3) ；
(4){(x,y)|－2x－3}；
(5){x|x=3n－2,,n≤5}；
(6){x|x=－2n,,n≤6}.
2.已知集合A={x|+2x+1=0,a∈R}:
（1)若A中只有一个元素，求a的值；
（2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围；
（3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围.
解：（1)当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时x=－，符合题意；
当a≠0时，方程+2x+1=0为一元二次方程，
Δ=4－4a=0即a=1时，原方程的解为x=－1，符合题意.
所以a=0或a=1时，集合A中只有一个元素.
（2)若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或A中没有元素.
当A中没有元素时，解得a>1；
当A中只有一个元素时，a=0或解得a=0或a=1.
故当a=0或a≥1时，A中至多有一个元素.
（3)若A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素.
当A中有两个元素时,由解得a<1且a≠0;
当A中只有一个元素时，a=0或解得a=0或a=1.
故当a≤1时，A中至少有一个元素.
3.集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z}.又a∈A,b∈B,求a+b与集合A,B,C之间的关系.
解：由a∈A,b∈B,
设a=2k,k∈Z；+1，∈Z.
则)+1,且∈Z,
∴ a+bA,a+b∈B,a+bC.
－ax+b(a,b∈R),A={x|y－x=0,x∈R},B={x|y－ax=0,x∈R},若－3∈A，1∈A，试用列举法表示集合B.
解：集合A={x|y－x=0,x∈R}，即为方程y－x=0的解集；集合B是方程y－ax=0的解集.
因为－3∈A,1∈A，
所以－3,1是方程－ax－x+b=0的两个根，
故a+1=－3+1=－2,b=(－3)×1=－3，
y－－+4x－3=0，
解得它的两个根是-2-,-2+.
故B={-2-,-2+}.
5.由实数构成的集合A满足条件：若a∈A，a≠1，则∈A.
（1)若2∈A，求集合A；
（2)证明：非空集合A中至少有三个不同元素.
（1)解：∵ a∈A，a≠1，则∈A，∴ 当2∈A时，有=－1∈A；由－1≠1，有=∈A；由≠1，有=2∈A.如此循环可知集合A中共有三个元素－1，，2，∴ A=－1,,2.
（2)证明：∵ 集合A非空，故存在a∈A，a≠1，有∈A且≠1，即a≠0时，有=∈A，于是∈A且≠1，即a－1≠a时，有=a∈A，即如此循环出现三个数a，，∈A.若a=，则方程－a+1=0无实根；若=，则方程－a+1=0无实根；若a=，则方程－a+1=0无实根.
∴ a，，∈A且互不相等，故集合A中至少有三个不同元素.
课外拓展
康托与集合论
(北师大版)
翻开高中数学课本，首先映入眼帘的数学概念是集合.研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论.它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，而且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石.其创始人康托也以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一.
康托（Cantor,G.F.P.，1845—1918)，德国数学家，生于俄罗斯圣彼得堡，自幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托获博士学位，以后一直在哈雷大学任教，从事数学教学与研究.
人们把康托最早提出集合论思想的那一天1873年12月7日定为集合论诞生日.他把集合理解为：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体.其中各事物称为该集合的元素.不到30岁的康托向神秘的“无穷”宣战，他靠着智慧和汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应.这样看起来，1 cm长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”.
事实证明，康托的集合论不仅为数学分析奠定了最终基础，而且对整个现代数学结构产生了重大而深远的影响.
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