数学：“函数的表示法”教学设计
南京师大附中 陶维林
一、内容和内容解析
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函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．
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学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的．同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程．
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学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识．在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法．函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．
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解析法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数．
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图象法的优点是，直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．
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列表法的优点是，不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．
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在研究函数时，根据问题的特点，往往需要同时借助几种不同的函数表示法研究函数，如同时采用解析法和图象法表示函数，加强数形结合，这是研究函数的常用方法．
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分段函数是一类重要的函数．所谓分段函数，就是在同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．这类似于，同一个国家的不同地区可以实行不同的社会制度．
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二、目标和目标解析
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1．掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
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通过具体的实例，在不同的表示法的选择、转化中，逐步学会用恰当的方法表示一个函数，逐步养成用不同方法表示一个函数的习惯，尤其是增强数与形结合的意识．
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2．了解简单的分段函数，并能简单的应用．
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通过具体实例（如出租车资费、邮件资费等），以及画出含绝对值函数的图象，或者求含绝对值的函数的值域，认识分段函数是一种普遍存在的函数．
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3．会用列表、描点、连线的三步作图法画一些简单函数的图象，并能通过几何直观得到函数的有关信息（性质）．
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三、教学问题诊断分析
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1．初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．高中阶段重点是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，使学生会根据实际情境的需要选择恰当的表示方法．因此，教学中应该多给出一些具体问题，让学生在比较、选择函数模型表示方式的过程中，加深对函数概念的整体理解，而不再误以为函数都是可以写出解析式的．
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（2）让学生用借助计算器，列表描点，画出给出解析式的函数的图象，加强各种表示法之间的联系．有条件的，可使用信息技术，利用计算机软件画出图象，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数概念及其表示法．如可补充如下函数：
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上述四个函数的图象如图1所示，依次为：
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?????????????????????????????????? 图1
（3）分段函数大量存在，但比较繁琐．一方面，要加强用分段函数模型刻画实际问题的实践，另一方面，可以画含绝对值号的函数的图象，促使学生根据绝对值的意义把函数分段写出来，然后分段画出图象．还可以通过求分段函数的值域，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合．这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔．
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四、教学基本流程?
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五、教学过程设计
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1．用三种表示法表示同一个函数
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我们在初中就已经知道函数的三中表示法：解析法，图象法，列表法．
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问题1? 某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）本笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）．（教科书第19页例3）
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设计意图：通过具体例子，让学生用三种不同的表示方法来表示的同一个函数，进一步理解函数概念．
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这个函数的图象由一些离散的点组成，与以前学习过的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线不同．通过本例，进一步让学生感受到，函数概念中的对应关系、定义域、值域是一个整体．函数y＝5x不同于函数y＝5x （x∈｛1，2，3，4，5｝），前者的图象是（连续的）直线，而后者是5个离散的点．
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由此认识到：“函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等．”（教科书例3的边空）
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让学生体会到三种表示方法各自的优点．为“问题2”（教科书第20页）提供一个具体的事例．
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解：这个函数的定义域是{1，2，3，4，5}．
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（1）用解析法表示为
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????? y＝5x， x∈｛1，2，3，4，5｝．
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（2）用列表法表示为?
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（3）用图象法表示，函数y＝f（x）的图象如图2所示．
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图2
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问题2 （教科书第20的“思考”）
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（1）比较函数的三种表示法，各自的有哪些优、缺点？
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（2）所有的函数都能用解析法表示吗？举出一个函数，并分别用三种表示法表示．
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设计意图：通过比较，明确各种表示法的优点；通过举例，让学生通过自己的例子说明怎样用适当的表示法来表示某些函数．
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不是所有的函数都能用解析法表示，如心电图．
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讨论中，还可以问学生“函数图象可以是折线吗”让学生举例说明．（如y＝|x|）
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问题3 图3能表示某个函数的图象吗？为什么？
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图3?
设计意图：这是例3边空的内容“那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？”通过讨论，进一步理解函数概念中“对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”．
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组织学生讨论后，归纳出判断方法“平行于y轴的直线（或y轴）与图形至多一个交点”．
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2．选择适当方法表示函数，以便分析其特点
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问题4? （教科书第20页例4）下表是高一（3）班三位同学在高一学年度6次数学测试的成绩及班级平均分表．
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请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
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设计意图：这里有三个用表格法给出的函数．要“对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析”不太方便，因此需要改变函数表示的方法，选择图象法比较恰当．
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教学中，先不必直接把图象法告诉学生，可以让学生说说自己是如何分析的，选择了什么样的方法来表示这三个函数．通过比较各种不同的分析方法，达成共识：用图象法比较好．培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力．
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能够从图象中读出哪些信息也不要直接告诉学生，让学生经过观察、思考获得结论．比如总体水平（王伟成绩好）、变化趋势（赵磊的成绩在逐步提高）、与班级平均分的比较，等等．培养学生的观察能力、获取有用信息的能力．??????????????????????????????????????????????
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图4
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解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况（学习情况）．如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如图4，那么就能比较直观地看到成绩变化情况．这对我们进行分析学习情况是有利的．
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从图4中可以看到，王伟同学的学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况稳定，而且成绩优秀．张城同学的学习成绩不够稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度也比较大．赵磊同学的学习成绩低于班级平均水平，但是他的成绩呈上升趋势，表明他的成绩在稳步提高．
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必须提醒学生，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，直观感受三个函数的图象具有整体性，也便于分析学习情况，加以比较．
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3．分段函数及其表示
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问题5? 某市出租车资费规定如下：（1）3公里以内（含3公里）9元；（2）3公里以上，每增加1公里，资费增加2.4元（不足1公里按1公里计算）．
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某线路总里程为6公里，请根据题意写出资费与里程之间函数的解析表达式，并画出函数的图象．
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设计意图：让学生尝试选择适当表达方式来表示实际问题；学习分段函数及其表示．
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解：设资费为y元，里程为x公里．由题意，自变量x的取值范围是（0，6．?
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根据解析式画出的图象如图5所示．
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??????????????????? ??????????? 图5
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象问题5这样的函数称为分段函数．
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所谓分段函数，就是在函数的同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．类似于大陆、台湾是同一个国家的不同地区，社会制度可以不同．
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生活中有许多需要分段表示的函数，请你举出几个分段函数的例子，并画出它的图象．
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如分期付款，邮件资费等．再如 y＝|x|＝
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4．课堂练习
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?? 教科书第23页，练习，1，2，3．
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5．小结
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?? 通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？
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?? 大致有：函数的表示方法有三种，各有优、缺点；应该根据不同的问题、不同的要求选择恰当的方法表示它，以便研究函数某些性质．还学习了什么样的函数是分段函数．
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6．课后作业
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教科书第24页，习题1.2，7，8．
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