2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
情境设置：让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：
(1)；(2)；(3)。}
用配方法可把一元二次方程＋b＋c＝0（a≠0）变为①
a≠0，4a2＞0。于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根＝；（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根＝＝－；（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。
由此可知，一元二次方程＋b＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程＋b＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。
综上所述，对于一元二次方程＋b＋c＝0（a≠0），有
（1）当Δ＞0时，方程有两个不相＋b＋c＝0等的实数根＝；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，＝＝－；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根。
例1 判定下列关于的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）－3＋3＝0； （2）－－1＝0；
（3）－＋(－1)＝0； （4）－2＋a＝0。
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根。
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根，。
（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以，①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1。
（4）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以
①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根，；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根。
说明：
在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论。
分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题。
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程＋b＋c＝0（a≠0）有两个实数根
则有；
。
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果＋b＋c＝0（a≠0）的两根分别是,，那么+＝， ＝。这一关系也被称为韦达定理。
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋p＋q＝0，若,是其两根，由韦达定理可知，+＝－p，＝q，即p＝－(+)，q＝，
所以，方程＋p＋q＝0可化为－(+)＋＝0，由于,是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程－(+)＋＝0。因此有以两个数,为根的一元二次方程（二次项系数为1）是－(+)＋＝0。
例1、已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值。
解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7。
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得＝2，＝－。
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7。
解法二：设方程的另一个根为，则 2＝－，∴＝－。
由（－）＋2＝－，得 k＝－7。所以，方程的另一个根为－，k的值为－7。
例2、 已知关于的方程＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值。
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值。但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零。
解：设,是方程的两根，由韦达定理，得+＝－2(m－2)，＝m2＋4。
∵＋－＝21，∴(+)2－3 ＝21，
即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得 m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17。
当m＝－1时，方程为＋6＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为＋30＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去。
综上，m＝17。
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可。
（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。
例3、已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数。
分析：我们可以设出这两个数分别为，y，利用二元方程求解出这两个数。也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解。
解法一：设这两个数分别是，，则 解得： ∴ ，因此，这两个数是－2和6。
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根。
解这个方程，得＝－2，＝6。 所以，这两个数是－2和6。
说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷。
例4、 若和分别是一元二次方程2＋5x－3＝0的两根。
（1）求|－|的值； （2）求的值； （3）＋。
解：∵和分别是一元二次方程2＋5－3＝0的两根，∴，。
（1）∵| －|2＝x12+ x22－2 ＝(+)2－4＝
＝＋6＝，
∴|-|＝。
（2）。
（3）＋＝(+2)( －＋)＝(+)[ (+) 2－3]
＝(－)×[(－)2－3×()]＝－。
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程＋b＋c＝0（a≠0），
则，，
∴|-|＝。
于是有下面的结论：
若和分别是一元二次方程＋b＋c＝0（a≠0），则|-|＝（其中Δ＝b2－4ac）。
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。
例5 若关于x的一元二次方程－＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围。
解：设,是方程的两根，则＝a－4＜0，且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0。
由①得a＜4，由②得a＜。∴a的取值范围是a＜4。
练 习1.选择题：（1）方程的根的情况是（ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
（A）m＜ （B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
2．填空:（1）若方程－3－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝ 。
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 。
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 。
3.若，当k取何值时，方程k＋a＋b＝0有两个不相等实数根？
4．已知方程－3－1＝0的两根为和，求(－3)( －3)的值。
习题2.1
A组1．选择题:（1）已知关于的方程＋k－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：其中正确说法的个数是（ ）个 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
①方程＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0。
（3）关于x的一元二次方程a－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:（1）方程k＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ 。
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ 。
（3）已知关于x的方程－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 。
（4）方程2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ 。
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数。
B 组
1．选择题:若关于x的方程＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:（1）若m，n是方程＋2005x－1＝0的两实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 。
（2）若a，b是方程＋x－1＝0的两个实数根，则代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 。
3．已知关于x的方程－kx－2＝0。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围。
4．一元二次方程a＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2。求：（1）| x1－x2|和；（2）x13＋x23。
5．关于x的方程＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值。
C 组1.选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9
（2）若x1， x2是方程2－4x＋1＝0的两个根，则的值为（ ）
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
（3）如果关于x的方程－2(1+m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ）（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程c＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
2.填空：若方程－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ 。
3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程4k－4kx＋k＋1＝0的两个实数根。（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，，试求的值。
4．已知关于x的方程。（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2。
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