2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程
＋b
＋c＝0（a≠0）有两个实数根
则有
；
。 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果
＋b
＋c＝0（a≠0）的两根分别是
,
，那么
+
＝
，
＝
。这一关系也被称为韦达定理。 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋p
＋q＝0，若
,
是其两根，由韦达定理可知，
+
＝－p，
＝q，即p＝－(
+
)，q＝
， 所以，方程
＋p
＋q＝0可化为
－(
+
)
＋
＝0，由于
,
是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程
－(
+
)
＋
＝0。因此有以两个数
,
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
－(
+
)
＋
＝0。 例1、已知方程
的一个根是2，求它的另一个根及k的值。 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值。 解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7。 所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得
＝2，
＝－
。 所以，方程的另一个根为－
，k的值为－7。 解法二：设方程的另一个根为
，则 2
＝－
，∴
＝－
。 由（－
）＋2＝－
，得 k＝－7。所以，方程的另一个根为－
，k的值为－7。 例2、 已知关于
的方程
＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值。 分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值。但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零。 解：设
,
是方程的两根，由韦达定理，得
+
＝－2(m－2)，
＝m2＋4。 ∵
＋
－
＝21，∴(
+
)2－3
＝21， 即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得 m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17。 当m＝－1时，方程为
＋6
＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m＝17时，方程为
＋30
＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去。 综上，m＝17。 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可。 （2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。 例3、已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数。 分析：我们可以设出这两个数分别为
，y，利用二元方程求解出这两个数。也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解。 解法一：设这两个数分别是
，
，则
解得： ∴
，
因此，这两个数是－2和6。 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根。 解这个方程，得
＝－2，
＝6。 所以，这两个数是－2和6。 说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷。 例4、 若
和
分别是一元二次方程2
＋5x－3＝0的两根。 （1）求|
－
|的值； （2）求
的值； （3）
＋
。 解：∵
和
分别是一元二次方程2
＋5
－3＝0的两根，∴
，
。 （1）∵|
－
|2＝x12+ x22－2
＝(
+
)2－4
＝
＝
＋6＝
， ∴|
-
|＝
。 （2）
。 （3）
＋
＝(
+
2)(
－
＋
)＝(
+
)[ (
+
) 2－3
] ＝(－
)×[(－
)2－3×(
)]＝－
。 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设x1和x2分别是一元二次方程
＋b
＋c＝0（a≠0）， 则
，
， ∴|
-
|＝

。 于是有下面的结论： 若
和
分别是一元二次方程
＋b
＋c＝0（a≠0），则|
-
|＝
（其中Δ＝b2－4ac）。 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。 例5 若关于x的一元二次方程
－
＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围。 解：设
,
是方程的两根，则
＝a－4＜0，且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0。 由①得a＜4，由②得a＜。∴a的取值范围是a＜4。 练 习1.选择题：（1）方程
的根的情况是（ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根 （2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） （A）m＜
（B）m＞－
（C）m＜
，且m≠0 （D）m＞－
，且m≠0 2．填空:（1）若方程
－3
－1＝0的两根分别是x1和x2，则
＝ 。 （2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 。 （3）以－3和1为根的一元二次方程是 。 3.若
，当k取何值时，方程k
＋a
＋b＝0有两个不相等实数根？ 4．已知方程
－3
－1＝0的两根为
和
，求(
－3)(
－3)的值。 习题2.1 A组1．选择题:（1）已知关于
的方程
＋k
－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法：其中正确说法的个数是（ ）个 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 ①方程
＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程
－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7； ③方程3
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
； ④方程3
＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0。 （3）关于x的一元二次方程a
－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ） （A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1 2．填空:（1）方程k
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ 。 （2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ 。 （3）已知关于x的方程
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 。 （4）方程2
＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ 。 3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程

－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ 4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数。 B 组 1．选择题:若关于x的方程
＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（ ） （A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空:（1）若m，n是方程
＋2005x－1＝0的两实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 。 （2）若a，b是方程
＋x－1＝0的两个实数根，则代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 。 3．已知关于x的方程
－kx－2＝0。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围。 4．关于x的方程
＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值。

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