课题:不等关系——比较大小
教材:北师大版普通高中课程标准实验教科书(必修5)
授课教师:新余市第四中学 黄良友
教学目标:
1.知识目标:①掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法
②理解不等关系的传递性
③能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小
2.能力目标:通过对具体问题的分析,培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力,提高学生解决实际问题的能力;
3.情感目标:通过设立问题情境,激发学生的学习动机和好奇心理,使其主动参与双边交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度,培养学生热爱家乡的优良品质.
教学重、难点:
教学重点:比较实数大小的方法.
教学难点:1.比较实数大小方法中的代数变形;
2.比较实数大小方法的实际应用
教学方法:启导法、感性体验法、合作讨论法
教学用具:多媒体、印好的习题纸
教学过程:
(一)创设情境
(幻灯片给出几张庐山的优美图片,激发学生的兴趣)
引入: 庐山以自然景观为载体,以人文景观为内涵。它那伟岸的山体、飞流湍泻的瀑泉、扑朔迷离的云雾、钟灵毓秀的山城,以及宗教理趣的光华、千年书院的风采、冰川遗迹的神韵、西式别墅的音符……无一不是中华民族乃至整个人类文明的古今融合、精神凝聚、文化升华。它兼有大江的气魄、大湖的胸襟、雄山的刚毅、秀山的温柔和灵山的潇洒,被联合国教科文组织评为“世界文化景观”。国庆放假期间,邀上几个朋友一起去了趟庐山,恰好碰到景区推出一套门票优惠方案,具体如下:
庐山旺季门票原价为180元,现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案)
优惠方案A:买全票一张,则其余票可享受八折优惠;
优惠方案B:按团体购票,一概优惠30元.
为了使门票花费最少,请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案?
学生肯定会问有多少人,教师告诉他们在5-7人,由学生先对多种情况进行讨论。
合作交流:同桌讨论合作完成下列表格(作业纸)
人数
方案A
方案B
方案选择
5
756
750
B
6
900
900
A或B
7
1044
1050
A
(学生思考演算并请学生回答结果)
由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题,这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小(板书课题同时幻灯片出示课题)
继续就上述情境提问:对于人数确定的情况,两个具体的实数我们很容易比较大小,如果人数不确定呢,又该如何比较大小?
若设人数为n,记采用方案A的费用为,采用方案B的费用为,则
,
接着我们要比较就是这两个代数式子的大小,我们该怎么办呢?(学生思考)
对于这两个式子来说,它们有以下的三种大小关系:
所以 当时,选择方案B;
当 时,选择两种方案都一样;
当 时,选择方案A.
这样我们的问题就解决了。
归纳小结:
任意两个实数a,b都能比较大小:
如果a-b>0,则a>b;
如果a-b<0,则a0
>
(出示例3)
例3.当10, <0
()()<0
<
例题小结:
差值比较法的一般步骤:1.作差 2.变形 3.定号 4.下结论
(配方法和因式分解为代数变形的常用方法)
(三)课堂小练
比较大小除了差值比较法之外,还有很多其他的方法。
例:如何比较和的大小?
如果学生自己找出答案应给予表扬,若学生思考无果,则如下引导:
(1)和1哪个大? (2) 与1哪个大?
学生恍然大悟:
不等关系的传递性(间接比较大小的理论依据)
若a>b,b>c,则a>c.
例4:建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好。试问:同时增
加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由。
分析:例2以建筑设计为背景,研究比较大小在实际生活中的应用,这是一个难点.应该指导学生进行正确的审题。
解:设住宅窗户面积和地板面积分别为和,同时增加的面积为,根据问题的要求,且.
由于,
于是 ,又,
因此
所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了!
结论:一般地,设,为正实数,且,则
这是一个非常重要的不等式,其意思为:一个正的真分数,当分子和分母同时加上一个正数后得到的分数比原来的大。例如
这个不等式在生活中还有一个模型。大家能否用这个不等式解释一下:
在一杯不太甜的糖水里加糖,糖水变甜了.
设在g糖水里有g糖,此时糖水浓度为,在加入g糖后,这杯糖水的浓度为,按照常识可知.
(四)思考交流
(放映芭蕾舞演员的表演视频)
引言中的问题:
为什么芭蕾舞演员在表演时脚尖立起给人一种美的享受?
你们知道黄金分割吗?黄金分割是一个值0.618,一本书的短边长与长边长之比接近0.618时,视觉上要优美一些,而对于人的身材也是一样的。
一个人的身材比例为0.618时是最优美的。一般的人,下半身长x(肚脐眼以下部分)与全身长y的比值在0.57-0.6之间,而芭蕾舞演员在演
出时,脚尖立起调整了身段的比例.如果设人的脚尖立起提高了m,则下半身长与全身长之比由变成,这个比值更加接近黄金分割值0.618.
实际的生活中,很多的女士为了追求美而选择穿高跟鞋,其目的就是在追求黄金分割值。
实践作业:请大家回去为自己和家人量一量身材,也许最美的东西就在你身边哦!如果是女性可以为她们设计高跟鞋的高度(是不是越高越好呢)。
人员
下半身长x(cm)
全身长y(cm)
鞋子高度m(cm)
甲
乙
丙
丁
但是我们作为学生应该追求内在美,不能穿高跟鞋。
(五)回顾与小结
请同学们相互讨论:
本节课你学到了哪些知识?
(引导学生归纳本堂课的重要知识,重要方法)
比较大小的方法:差值比较法;
不等关系的传递性(间接比较大小的理论依据);
比较大小在实际问题中的应用。
(六)布置作业
课本74页 课后思考交流2以及练习2
教学设计说明
现代教育心理学的研究认为,有效的性质概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的,因此我在教学设计过程中注意了:
㈠在学生已有知识结构和新知识间寻找“最近发展区”.
㈡引导学生通过同化,顺应掌握新知识。
㈢设法走出“性质概念一带而过,演习作业铺天盖地”的误区,促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。
我认为本节课的设计应遵循教学的基本原则;注重对学生思维的发展;贯彻教师对本节内容的理解;体现“学思结合﹑学用结合﹑学习动机与意志品质相结合”的原则。希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用.
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