§2.5.1曲线与方程
●教学目标
1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义.
2．会判定一个点是否在已知曲线上.
●教学重点 曲线和方程的概念
●教学难点 曲线和方程概念的理解
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.
Ⅱ.讲授新课
1．曲线与方程关系举例：
师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x－y=0.这就是说，如果点M（x0,y0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0,y0）是方程x－y=0的解；反过来，如果（x0,y0）是方程x－y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如左图）
又如，以为圆心、为半径的圆的方程是。这就是说，如果是圆上的点，那么它到圆心的距离一定等于半径，即，也就是，这说明它的坐标是方程的解；反过来，如果是方程的解，即，也就是，即以这个解为坐标的点到点的距离为，它一定在以为圆心、为半径的圆上的点。（如右图）.
2．曲线与方程概念
一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
3．点在曲线上的充要条件：
如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0=（x0,y0）.在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.
4．例题讲解：
例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程是。
证明：（1）设M（x0,y0）是轨迹上的任意一点，因为点M与轴的距离为，与轴的距离为，所以 即是方程的解.
（2）设的坐标是方程的解，那么即
而正是点到轴，轴的距离，因此点到两条直线的距离的积是常数，点是曲线上的点。
由⑴⑵可知，是与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程。
Ⅲ.课堂练习：
课本P39练习1
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家能够理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，并掌握判断一点是否在某曲线上的方法，为进一步学习解析几何打下基础.
●课后作业
P40习题 A组 1，2 B组 1
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