曲线与方程的教学设计说明
新疆兵团农二师华山中学 陶述兵
曲线与方程是人教版选修2—1第二章第一节“曲线和方程”的第一课时，下面我从以下五个方面来汇报对教材的钻研情况和本节课的教学。
一、教材分析
“曲线和方程”是在必修介绍了“直线的方程”和“圆的方程”之后，对一般曲线(也包括直线)与二元方程的关系作进一步的研究。“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响。学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径。如果以为学生不真正领悟曲线和方程的关系，照样能求出方程、照样能计算某些难题，因而可以忽视这个基本概念的教学，这不能不说是一种“舍本逐题”的偏见，应该认识到这节“曲线和方程”的开头课是解析几何教学的“重头戏”！根据以上分析，确立教学重点是：理解曲线的方程和方程的曲线的概念；难点是：对曲线与方程对应关系的理解。由于本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。由于学生已经具备了用方程表示直线、圆等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。为了强化其认识，每一个问题都引发学生用集合的知识加以阐述，并决定在一开始学习曲线与方程的概念时用集合相等的概念来理解曲线和方程的关系，并以此为工具来分析问题、实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法，知其理。
二、教学目标分析
根据教材的要求以及本节课在教材的地位和作用，结合高二学生的认知特点，我认为，通过本节课的教学，应使学生理解曲线和方程的概念；会用定义来判断、证明曲线的方程；培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力，渗透数形结合的数学思想；并借用曲线与方程的关系进行辩证唯物主义观点的教育；通过对问题的不断探讨，培养学生勇于探索的精神。
确定教学目标如下：
知识目标：
1、了解曲线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系；
2、初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；
3、学会根据已学知识为切入点，引起关注，引发数学思考进而分析、判断、归纳结论
4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
能力目标：
1、通过直线方程和圆的方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；
2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；
3、能用所学集合知识理解新的概念，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
情感目标：
1、以现实生活中飞逝的流星，雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代繁华都市的立交桥的图片激发学生学习曲线与方程的兴趣。通过两个问题的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；
2、通过问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
三、教学问题诊断
此前，学生已知，在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之间建立了一一对应关系，已有了用方程（有时以函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程，对学生有相当大的难度。而新课标强调返璞归真，努力揭示数学概念、结论的发展背景，过程和本质，揭示人们探索真理的道路。本节课在学生学习了集合和直线的方程，圆的方程知识的基础上，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会孕育在其中的思想，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点，选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”和“圆的方程”入手，以集合相等，帮助理解 “曲线的方程”与“方程的曲线”，进一步强化了概念理解的深刻性。无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则。学生在学习时容易产生的问题是，不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用。
四、教法分析
以学生为中心，让学生真正成为学习的主人而不是知识的奴隶，基于此，本节课根据学生的认知基础，重点采用了问题探究和启发式相结合的教学方法，从问题引入到问题推广的探究，启发引导学生得出概念，深化概念。在生生合作，师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题的能力打下了基础。并利用多媒体辅助教学，节省了时间，增大了信息量，增强了直观形象性。提倡学习方式的多样化，通过引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从问题引入→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者，不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及的数学思想也得以领会，这样既可以使学生完成知识建构，又可以培养其能力。
五、教学过程
一、情景引入
设计问题，激发兴趣
幻灯片展示：现实生活中飞逝的流星，雨后的彩虹，古代的石拱桥和现代繁华都市的立交桥的图片
设计意图：激发兴趣，将课件中的图片抽象成曲线，体现出“数”控制“形”的变化
二、探究问题，引出概念
问题一
(1)平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线的方程是 吗？
为什么？你能用集合的知识加以阐述吗？
(2)方程|y|=|x|是上述直线的方程吗？
(3)以上两个方程不是直线的方程，那么你们能找出第一、三象限角平分线的方程吗？
设计意图：从学生已学知识为切入点，引起学生的关注，引发数学思考，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。?
提出问题，继续引发思考
问题二
圆心在C(1,2),半径为2的圆的方程是吗？
设计意图：学生活动，包括观察、归纳、猜想、验证、推理、讨论、合作、交流、互动等活动；让学生在活动中体验数学，在课堂上不停的进行思维的碰撞。使学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、反思与建构等思维过程。
三、归纳，生成概念
曲线的方程、方程的曲线的定义：
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
设计意图：由特殊到一般，从简单到复杂，使新知的建构顺畅和自然，既体现在教师引导下学生自我建构，又使学生感到知识之间并不是孤立的，而是相互联系的，他们是一个相互联系的、密切相关的整体。
四、通过运用，巩固概念
练习
1、过点A（2，0）平行于y轴的直线方程是|x|=2吗？为什么？
2、到两坐标轴等距离的点的轨迹方程是y=x吗？为什么？
例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是.
设计意图：数学概念是要在运用中得以巩固，通过练习，可以纠正错误的认识，促使对概念的正确理解，
五、课堂小结??
1、曲线的方程和方程的曲线的概念
通过本节学习，要理解曲线的方程和方程的曲线的概念，曲线C和方程f（x,y）=0必须满足两个条件。曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法，曲线与方程的这种对应关系，是通过平面直角坐标系建立的，曲线和方程之间的对应关系，实质上是曲线C上点的坐标与方程的解之间的对应关系问题。以及用集合相等来辅助理解曲线的方程和方程的曲线的概念。
2、基本思想与方法
? 数形结合的思想?， 转化与化归的思想
设计意图：让学生回顾、总结、联系、整合、提高认识、理解数学。
六、布置作业
1．举出一个曲线的方程的例子．
2．举出一个方程与一条曲线，使它们之间符合关系(1)而不符合关系(2)．
3．举出一个方程与一条曲线，使它们间符合关系(2)而不符合关系(1)．
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