正弦、余弦函数的周期性教案
广东省东莞中学松山湖学校 彭 科
一、教材分析：
《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．
二、教学目标：
学情分析：
学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．
本课的教学目标：
(一)知识与技能
1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．
2．会求一些简单三角函数的周期.
(二)过程与方法
从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sinx的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．
(三)情感、态度与价值观
让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．
三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.
四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.
五、教学准备：三角板、多媒体课件
六、教学流程：
七、教学过程：
预计时间（分）
教学程序
教师活动
学生活动
备注
1分钟
创设问题情境引入
问:生活中有哪些周而复始现象？
问:数学中有哪些周期现象?
学生举例
从生活中的周期现象引入，激发学生的学习兴趣.
2分钟
复习回顾
引导学生回顾：
1．诱导公式（一）
2．正弦线
3．利用正弦线画正弦函数图象（动画演示）.
学生回顾诱导公式（一）
学生观察动画演示
引导学生回顾旧知为本课做准备.
通过动画演示让学生直观感知周而复始的变化规律.
10分钟
构建周期函数定义
问:正弦函数y=sinx图象有什么特征？
问:图象呈周期性变化怎样用数学表达式表示?
(让学生再次观察动画演示)
正弦函数图象的周而复始的变化实际上就是函数值的周而复始的变化.
sin(2π+x)=sinx这个结论可由图象观察分析得到，也可由诱导公式得到.
问: 对于sin(2π+x)=sinx,
若记f(x)=sinx,则对于任意
x∈R,都有f( )=f( )
给出周期函数及周期的定义.
答：由动画演示观察可得：正弦函数图象具有周而复始的变化规律
答：即sin(2π+x)=sinx,
由诱导公式也可得：
sin(2π+x)=sinx,
抽象概括：
设f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x)．
周期函数定义:
一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
通过对正弦函数y=sinx图象观察、分析，结合诱导公式，构建出周期函数的定义，主要是立足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力,并进一步渗透数形结合思想方法．
预计时间（分）
教学程序
教师活动
学生活动
备注
2分钟
正弦函数的周期和最小正周期的定义.
问:
正弦函数的周期为多少?
问: 在正弦函数的周期中,
最小正数是多少?
给出最小正周期的定义．
答:
、、、……
2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期．
答:
让学生理解最小正周期的定义．
培养学生的数形结合能力
9分钟
巩固周期函数定义
判断题：
1.因为,所以是的周期.
2.周期函数的周期唯一．
3.常数函数f(x)=5是周期函数.
（分四人一组进行讨论,再由学生发表看法.）
引导学生做完判断题后谈一谈体会．
答:1.错 举反例:
2.错（结合正弦函数周期分析）
3.对（结合定义分析）
学生谈体会：
1. 周期的定义是对定义域中的每一个值来说的.
2.周期函数的周期不唯一.
3.周期函数不一定存在最小正周期.
说明:今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期.
为了帮助学生正确理解周期函数概念，防止学生以偏概全，让学生学会怎样学习概念；培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质.让学生在讨论交流中不断完善自己的认知结构，充分感受成功与失败的情感体验.
2分钟
探究余弦函数的周
期
问题：
余弦函数y=cosx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使cos(T+x)= cosx成立？若是，请找出它的周期，若不是，请说明理由.
学生回答:
余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ(k∈Z且
k≠0)都是它的周期．
最小正周期为
通过对定义的理解、余弦函数图象以及类比正弦函数，可以得到余弦函数是周期函数，这样使学生加深对定义的理解，培养学生类比思想和数形结合能力．
预计时间（分）
教学程序
教师活动
学生活动
备注
9分钟
知识应用
例1．求下列函数的最小正周期T.
1.，；
2.，；
3.，
；
第1题师生共同完成
第2、3题学生独立完成
预设：利用课件中的图象引导学生发现最小正周期
两名学生板演，其余学生在下面独立完成，
完成后由学生点评.
学生可能的方法：
1.周期函数定义
2.函数图象观察得到周期
观察学生对周期函数定义的掌握情况．
培养学生的数形结合能力．
4分钟
课堂反馈
练习：
1．等式是否成立?如果这个等式成立,能否说是正弦函数的一个周期？
2.求下列函数的周期:
答：
1. 成立 不能
2.(1)
(2)
通过课堂反馈能准确、及时地了解学生对周期函数定义和函数周期求法的掌握情况,做到及时反馈、评价,及时查漏补缺,达到堂堂清.
1分钟
课堂小结
1.回顾周期函数的定义．
2.函数y=sinx和函数y=cosx周期为多少？.
3.函数周期有多少种求法?
1.周期函数定义:
一般地，对于函数
f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
2.函数y=sinx和函数y=cosx周期均为2π．
3．周期的求法：
①定义法 ②图象法
引导学生对所学知识进行小结,有利于学生对已有的知识结构进行编码处理,加强记忆.
课外作业：
求下列函数的周期：
(1)，；(2)，；
(3),(4)，
课外思考：
1. 求函数和（其中为常数，且）的周期．
2.求下列函数的周期：
（1），；（2），
附：板书设计
课题：正弦、余弦函数的周期性
设计意图
周期函数定义 例1 板演及学生演示区
正弦函数y=sinx的周期为
余弦函数y=cosx的周期为 .
为了使学生全面系统地了解本节内容的知识结构,达到突出重点,简洁明了的目的.
附：
1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．
2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的 严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．
3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．
教案设计说明
广东省东莞中学松山湖学校 彭 科
《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．
一、教学内容的数学本质及教学目标定位
本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画 “周而复始”的变化规律．
学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想． 另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．
于是，结合以上的学情分析，我从 “知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sinx的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标： 让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．
二、教学流程
三、学习基础及作用
本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．
四、教学诊断分析
1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sinx图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．
2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.
3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．
五、教法特点及预期效果分析
结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．
通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.
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