7.1直线的倾斜角和斜率（第一课时）
教学设计
《全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）》
（人教版）第七章第一课《直线的倾斜角和斜率》
青海湟川中学数学教师 陶世元
2010年9月
7.1直线的倾斜角和斜率（第一课时）整体设计
教
学
内
容
分
析
本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）教学第二册（上） 》（人教版）第七章第1节课《7.1直线的倾斜角和斜率》。根据实际情况，这是第一课时。
本节教学是高中解析几何内容的开始。直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素和代数表示，是平面直角坐标系内以解析法（坐标法）的方式来研究直线及其几何性质(如直线的位置关系、夹角、点到直线的距离等）的基础。
通过本节内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用知识。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
用坐标法解决几何问题是解析几何的主要目标，其本质是抽象的代数语言和直观的集合语言之间的数学对话。
教
材
解
析
对直线的方程和方程的直线的概念的理解需要一个过程。在本节教学中，将一次函数与其图象的对应关系，直接转换成直线方程与直线的对应关系，只需学生对其有一个初步的了解，为今后学习曲线和方程的概念作准备。
直线的倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的。倾斜角是直接用几何要素反映这种倾斜程度的。斜率等于倾斜角的正切值，是用函数刻画直线倾斜程度的代数表示，定义本身从“数”和“形”两方面沟通了表示直线倾斜程度的内在联系，将直线的倾斜度和实数之间建立对应关系，使几何问题的研究具有了普遍性。
由于在解析几何中，通过过两点的直线的斜率公式，把斜率坐标化，在研究直线时比使用倾斜角更方便。因此，它是研究直线问题的重要工具。正确理解斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，是学习直线方程，研究直线的位置关系等许多问题的关键。
目
标
与
目
标
解
析
目标：了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式。
目标解析：通过斜率概念的构建和斜率公式的探究，经厉几何问题代数化的过程，渗透数形结合、分类讨论的思想方法，强化函数的应用意识，训练学生的逆向思维能力。通过师生的双边活动使学生进一步获得分类讨论、抽象概括等研究数学的规律和方法，培养学生周密思考，主动学习、合作交流的意识和勇于探索的良好品质。
教
学
问
题
诊
断
分
析
1、两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中，通过逐个给出的三个问题，让学生在讨论后形成倾斜角的概念。
2、斜率概念的学习是本节的难点，学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的而倾斜角是唯一的，而斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生也有一定的困难，教学中从计算具体的直线的倾斜角入手，通过师生对话探究，从学习斜率的必要性、合理性、完备性三个角度进行突破。
3、过两点的斜率概念的建立是本节又一难点，受思维定势影响，在坐标系中，学生应用几何法探究斜率公式是必然，应重视这一方法，除此之外，要积极引导学生应用向量法，把几何要素用点的坐标来刻画描述，使几何问题代数化。
教
法
特
点
及
预
期
效
果
分
析
1、教学上应用新课标理念，以启发式为主。亚里士多德讲：“思维从问题，惊讶从开始”。通过问题驱动法，采用师生对话的方式，能使学生在讨论探究中激发学习新知识的兴趣和欲望，也可加深对得到概念的理解。
2、本节课采用学导式，改变了以往研究斜率的方法，让学生从数、形两个不同的角度对斜率公式进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到斜率的计算公式，更重要的预期是向学生渗透坐标法，体会向量法的优越性，教师可以真正做到“授之以渔”。
3、应用多媒体教具的电教手段弥补在直观感、立体感和动态感方面的不足，增大了教学内容，增强了学生的思维训练密度。
4、通过合作学习，上台展示，让学生在活动中感受教学思想方法之和谐优美。
重点难点
教学重点：直线的倾斜角和斜率概念，过两点的直线的斜率公式。
教学难点：斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立。
教学程序
教学情境
学情预设
设计意图
情
境
创
设
引
出
课
题
约
3
分
钟
师：在初中不与坐标轴平行的直线可以用一次
函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何。
帮助学生回忆初中平面几何中的相关概念。可指出前面研究问题的方法称为“几何法”，并提示同学们注意它与今后研究问题所用的“坐标法”有何异同。
由函数的概念引入解析几何，显得比较自然，学生并不陌生。同时为日后体会“坐标法”解决问题的一般性埋下伏笔。
师
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互
动
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知
探究一：直线的方程和方程的直线（约3分钟）
第一步：作：请同学们在直角坐标系中任意画一个一次函数的图像，并任取一点标上坐标。
第二步：想：所画一次函数的解析式是否是方程？如果是，是何方程？
第三步：探讨：方程的解和直线上的点有何对应关系？
当学生归纳出方程的解和直线上的点存在一一对应关系时，师生共同总结出直线的方程和方程的直线（幻灯片）：
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解。这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
(1)个别学生有可能画出形如“y=a”或“x=a”的图像，应及时指出它们虽不是一次函数，但仍是直线，可引导同学们考虑其中方程的解和直线上的点的关系。为后面分类讨论作准备。
(2)学生准确说出方程的解和直线上的点的对应关系有一定的困难，可积极引导学生应用逆向思维。
1.直线方程的概念通过一次函数的解析式与图像的对应关系引入比较自然。
2.直线方程的概念学习需要一个过程，直线的方程和方程的直线概念的描述中体现出来的逆向思维与本节学习重点直线的倾斜角和斜率的关系中的逆向思维一致。
探究二：直线的倾斜角（约5分钟）
问题逐个给出：
大家观察刚才所画的图像，对于平面直角坐标系内的一条直线L，它的位置由哪些条件确定？
(2)一点能确定一条直线吗？再加一个什么条件就可以确定一条直线？
(3)什么是直线的倾斜角？如何定义？范围是什么？
在学生讨论的同时，师板书（为了加深对概念的理解），画出下图直线的倾斜角。
(2)
(3) (4)
师：确定平面直角坐标系中一条直线位置关系的几何要素是定点和倾斜角。
师生共同幻灯片归纳总结：
(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小角正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。
(2)当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0o 。
故倾斜角的范围是
对于问题(2)，学生如果回答“再加一个表示倾斜程度的量”就顺势引出倾斜角的概念。如果学生已经看到课本上倾斜角的概念，就直接让学生讨论问题（3）。
关于问题（3），学生可能说出直线向上的方向与y轴正向之间所成的角是倾斜角。此时应立即点拨学生，为什么这样定义不合适。
在总结出直线的倾斜角概念后可根据学生理解的实际情况做详释：
直线的倾斜角是一个几何概念，它直观地描述和表现了直线向上的方向和x轴正方向所成的最小正角。可简记为“上”，“正”，“正”。
从研究直线方程的需要出发，引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率的概念，符合学生的认知特点。
通过环环相扣的三个问题，让学生在讨论后得出倾斜角的概念，使学生有成就感，亦可加深学生对得到概念的理解。
对于直线和x轴平行或重合的认识理解，可培养学生周密的思维能力，强化应用分类讨论思想的意识。
“上”，“正”，“正”是将倾斜角概念做出的精炼概述，可加强记忆。
探究三：让学生讨论给出直线的斜率的定义（约6分钟）。
1你能求出下图中直线的倾斜角吗？
同学们经过计算回答60o
师：说说你们的算法！可能出现的方法是：
生1：在Rt?AOB中，由得出。
生2：在Rt?AOB中，由得出。
生3：应用和也可以。
2同学们还能定义别的表示直线倾斜程度的量吗？
3应用哪一个三角函数更能合理地表示直线的倾斜程度？
借住师生、生生间的辨析得出斜率的概念：
定义：（1）倾斜角不是90o的直线，它的倾斜角的正切叫做直线的斜率。用k表示，即。
（2）倾斜角是90o的直线没有斜率。
教师可以接着问：倾斜角为60o 和120o的直线的斜率为多少？
用幻灯片出示第36页例1，板书解的过程。
4师：有了倾斜角的概念，为什么还用斜率来表示直线的倾斜程度？
仅用倾斜角这个几何概念来刻画直线的方向是不符合解析思想的（即用代数思想研究几何问题）由此想到三角函数，因为可设，这样就可以从代数的角度去刻画直线对x轴的倾斜程度。
有的同学预习了课本，已见到斜率的概念，可以问为什么采用tan， 而不是别的三角函数。在学生经过思考讨论后，让学生明确：
平面内的任意一条直线都有且只有一个倾斜角，倾斜角的大小确定了，直线的方向也就确定了，倾斜角不同，直线的倾斜程度也不同。那么所用函数尽可能是一一映射且单调性一致才更加合理。分析各种三角函数，采用，只需补充时斜率不存在即可。
对于定义（2），可通过师生对话明确1.当倾斜角是90o时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此直线垂直于x轴2.所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率。
1.通过师生对话，引出用斜率表示直线倾斜程度的必要性。
2.让学生自己定义斜率的概念，可增强成就感，激发学习兴趣，有利于该难点的突破。
3.函数的应用应与实际研究问题的需要相结合。只有这样直线的倾斜角与斜率两个概念才能“和谐”共存，都能表示直线的倾斜程度，体现数学中的“和谐”美。
4.可加深对分类讨论思想的应用意识。亦可完善对斜率概念的理解。
5.采用数形结合，将直线的倾斜度和实数之间建立对应关系，使几何问题的研究具有了普遍性，充分体现“坐标法”在数学研究中划时代的历史意义。
探究四：直线的斜率公式（8分钟）
师：在坐标平面内，已知两点P1（x1,y1),P2(x2,y2),就能确定一条直线，当倾斜角不等于90°时，这条直线的斜率也是唯一确定的，那么，如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率呢？
第一步：提出两个问题
(1)如何求斜率K？
（当时，由 ）
(2)计算可以从什么角度计算？用什么方法？
（可以构造直角三角形由入手，还可以根据定义，将角平移使始边与x正半轴重合，顶点与坐标原点重合，在终边上取一点P（x，y）用来计算）
第二步：分组活动，合作学习
师：下面就从这两个不同角度来计算斜率。
(1)让学生分两大组，一组从构造直角三角形入手计算斜率，另一组通过向量来计算斜率。
(2)每一大组再分几个合作小组，直线的倾斜角取不同的值。
第三步：交流，总结
教师在巡视中关注各组研究情况适时给予点拨、指导。条件成熟时，要求学生分析，除了公式是否还可得到一些有价值的副产品（如对直线的方向向量的感性认识）。
可选一些有代表性的小组上台展示成果，得出斜率公式:
第四步：归纳向量法推导斜率公式的要点，定义直线的方向向量：直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量，其坐标是： ，当时，=（1，k）也是它的方向向量。
在探究中应向学生指出：
(1)斜率公式与两点的顺序无关，即横纵坐标在公式中的前后次序可以用时颠倒；
(2)斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需要求出斜角，使用时比较方便；
(3)当x1=x2时，=90°， 斜率不存在。
在坐标系中，学生应用几何法探究斜率公式是必然，应重视这一方法。学生有可能对倾斜角为钝角的情况不太注意，应要求学生取不同的倾斜角进行分析，并给予适时的点拨和帮助。
应用向量法探究斜率公式的学生，可能对
取向上的方向不太注意，将平移至起点与坐标顶点重合时，结合三角函数的定义是思维上的障碍，考虑到学生的个体差异，教师应从向量的定义、三角函数的定义等方面对个别 小组进行适时的点评、指导。
问题（1）让学生复习斜率概念可起到承上启下的作用。
问题（2）引导学生从不同的角度计算斜率，并对学生进行数形结合、分类讨论、一般→特殊→一般等数学思想方法的有机渗透。
通过合作学习，让学生充当学习的主体，体会用“坐标法”研究几何问题的一般 方法和对得到结论的理解。
让学生上台展示可训练分析和表达问题的能力。
过两点的直线的斜率公式的建立是本节难点，让学生在交流中从两方面进行探究解决使该难点的突破显得自然。同时让学生在探究中逐步意识到向量是处理直线方程中许多问题的重要工具。
典
例
分
析
能
力
提
升
约
6
分
钟
师：求经过A（-2,0），B（-5,3）两点的直线的斜率和倾斜角。
解：，即，
，倾斜角是135o。
师：在平面直角坐标系中，画出经过原点，且斜率分别为1, -1，-2，-3的直线L1 ，L2 ，L3 ，L4 。
分析：要画经过原点的直线，只需再找一个点，若设L1 上A1（x1 ，y1 ）则由的，只需取满足的任意点均可，如（1,1）。类似可画出其它直线。
本题考查公式的直接应用问题，学生估计能做的很好！可找二同学板演，其他同学除做本题外，还做书中P37练习1,3。
本题属斜率公式的逆用问题，学生有可能对L1 ，L2 求出倾斜角画直线。
通过典例分析，训练斜率公式的正用与逆用问题，培养学生的逆向思维能力。
学生画出图后，可增强“坐标法”与数形结合的意识。
让学生体会用“特例法”解题带来的方便。
巩
固
练
习
延
伸
探
究
约
7
分
钟
师：练习P39 中4。
请2位同学板演4。
师：做书上P39页练习2，并进一步讨论斜率与倾斜角的取值范围。
可酌情给出：
(1)
(2)
(3)
时讨论k范围。条件成熟时问，反之，给出k的范围，如何求的范围。
画出
且的函数图像来讨论与k之间的关系，可加深对直线的倾斜角和斜率概念的理解，强化函数的应用意识，为下节内容打下基础。
对练习的进一步思考，可以让学生深入的研究直线的倾斜角与斜率的内在联系，完善对直线的倾斜角和斜率认识的系统性和深刻性。将学生的思维引领向更高的层次。
梳
理
归
纳
拓
展
升
华
约
2
分
钟
小结回顾：
通过本节的学习，你学到了哪些知识？这些知识是从什么角度研究的？你又掌握了哪些学习数学的方法？
用坐标法探究了直线的倾斜角的概念。从函数的角度定义了直线的斜率。用向量法（坐标法）和几何法研究了斜率公式。
学生可能仅仅把直线的倾斜角和斜率的概念、公式总结一下，要引导学生谈谈如何应用坐标法，在数形结合，分类讨论思想的关照下，研究几何问题的。
不仅仅小结本节学到的知识，更重要的是让学生感知研究数学问题的一般方法，以便将其迁移到以后研究直线的位置关系中去。
作业：习题7.1 1.2.3.4.5
补充作业：
求经过两点A（2，-1）和B（a，-2）的直线L的倾斜角。
习题7.1 1.2.3.4.5估计问题不大，根据实际情况可对补充题作一些提示。
补充题意在增强分类讨论的意识，为以后研究直线的位置关系做准备。
7.1直线的倾斜角和斜率（第一课时）
教学设计说明
教学内容分析
本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）教学第二册（上） 》（人教版）第七章第1节课《7.1直线的倾斜角和斜率》。根据实际情况，这是第一课时。
本节教学是高中解析几何内容的开始。直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素和代数表示，是平面直角坐标系内以解析法的方式来研究直线及其几何性质的基础。
通过本节内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用意识。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用
二、教学目标分析
了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式。经厉几何问题代数化的过程，培养学生周密思考，主动学习、合作交流的意识和勇于探索的良好品质
教学问题诊断分析
1、两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中，通过逐个给出的三个问题，让学生在讨论后形成倾斜角的概念。
2、斜率概念的学习是本节的难点，学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的而倾斜角是唯一的，而斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生也有一定的困难，教学中从计算具体的直线的倾斜角入手，通过师生对话探究，从学习斜率的必要性、合理性、完备性三个角度进行突破。
3、过两点的斜率概念的建立是本节又一难点，受思维定势影响，在坐标系中，学生应用几何法探究斜率公式是必然，应重视这一方法，除此之外，要积极引导学生应用向量法，把几何要素用点的坐标来刻画描述，使几何问题代数化。
四、教法特点及预期效果分析
1、教学上应用新课标理念，以启发式为主。亚里士多德讲：“思维从问题，惊讶从开始”。通过问题驱动法，采用师生对话的方式，能使学生在讨论探究中激发学习新知识的兴趣和欲望，也可加深对得到概念的理解。
2、本节课采用学导式，改变了以往研究斜率的方法，让学生从数、形两个不同的角度对斜率公式进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到斜率的计算公式，更重要的预期是向学生渗透坐标法，体会向量法的优越性，教师可以真正做到“授之以渔”。
3、应用多媒体教具的电教手段弥补在直观感、立体感和动态感方面的不足，增大了教学内容，增强了学生的思维训练密度。
4、通过合作学习，上台展示，让学生在活动中感受数学思想方法之和谐优美。
五、教学过程及设计意图
情境创设，引出课题（约3分钟）
师生互动，探究新知（约22分钟）
探究一：直线的方程和方程的直线
通过作、问、想三步曲，师生共同总结出直线的方程和方程的直线的概念。
探究二：直线的倾斜角
逐个明确问题：
（1）对于平面直角坐标系内的一条直线L，它的位置由哪些条件确定？
（2）一点能确定一条直线吗？再加一个什么条件就可以确定一条直线？
（3）什么是直线的倾斜角？如何定义？范围是什么？
后得出直线的倾斜角概念。
设计意图：让学生在讨论中得出倾斜角的概念，可激发兴趣，使学生有成就感，。
探究三：让学生讨论给出直线的斜率的定义
1你能求出下图中直线的倾斜角吗？
2同学们还能定义别的表示直线倾斜程度的量吗？
3应用哪一个三角函数更能合理地表示直线的倾斜程度？
借住师生、生生间的辨析得出斜率的概念。
设计意图：要让学生在探究中明确，有了倾斜角的概念，为什么还用斜率来表示直线的倾斜程度，为什么采用正切函数而不是别的三角函数。将直线的倾斜度和实数之间建立对应关系，使几何问题的研究具有了普遍性，亦可增强函数的应用意识。
探究四：直线的斜率公式
第一步：提出两个问题
(1)如何求斜率K？
(2)计算可以从什么角度计算？用什么方法？
第二步：分组活动，合作学习
第三步：交流，总结
第四步：归纳向量法推导斜率公式的要点，定义直线的方向向量。
设计意图：引导学生从不同的角度计算斜率，经厉几何问题代数化的过程，并对学生进行数形结合、分类讨论、一般→特殊→一般等数学思想方法的有机渗透。同时让学生在探究中逐步意识到向量是处理直线方程中许多问题的重要工具。
典例分析，能力提升（约6分钟）
1.求经过A（-2,0），B（-5,3）两点的直线的斜率和倾斜角。2.在平面直角坐标系中，画出经过原点，且斜率分别为1, -1，-2，-3的直线L1 ，L2 ，L3 ，L4 。
设计意图：通过本例，培养学生的逆向思维能力，增强“坐标法”与数形结合的意识。
巩固练习，延伸探究（约7分钟）
练习P37 中4、P37页练习2，并进一步讨论斜率与倾斜角的关系。
设计意图：对练习的进一步思考，可以让学生深入的研究直线的倾斜角与斜率的内在联系，完善对直线的倾斜角和斜率认识的系统性和深刻性，为进一步学习直线的倾斜角与斜率做好准备。
梳理归纳，拓展升华（约2分钟）
小结回顾：通过本节的学习，你学到了哪些知识？这些知识是从什么角度研究的？你又掌握了哪些学习数学的方法？
设计意图：不仅仅小结本节学到的知识，更重要的是让学生感知研究数学问题的一般方法，将学生的思维引领向更高的层次，以便将其迁移到其他知识的研究中去。
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