§1.1.3导数的几何意义 教学目标 1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念； 3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数
的几何意义是什么呢？ 二．新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当
沿着曲线
趋近于点
时，割线
的变化趋势是什么？ 我们发现,当点
沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题：⑴割线
的斜率
与切线PT的斜率
有什么关系？ ⑵切线PT的斜率
为多少？ 容易知道，割线
的斜率是
,当点
沿着曲线无限接近点P时，
无限趋近于切线PT的斜率
，即
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在
处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率， 即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点
处的变化率
，得到曲线在点
的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. （二）导函数： 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,
是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：
或
， 即:
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． （三）函数
在点
处的导数
、导函数
、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数
，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数
在点
处的导数
就是导函数
在
处的函数值，这也是 求函数在点
处的导数的方法之一。 三．典例分析 例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. （2）求函数y=3x2在点
处的导数. 解：（1）
, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为
即
（2）因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为
即
（2）求函数f(x)=
在
附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：

例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
，根据图像，请描述、比较曲线
在
、
、
附近的变化情况． 解：我们用曲线
在
、
、
处的切线，刻画曲线
在上述三个时刻附近的变化情况． 当
时，曲线
在
处的切线
平行于
轴，所以，在
附近曲线比较平坦，几乎没有升降． 当
时，曲线
在
处的切线
的斜率
，所以，在
附近曲线下降，即函数
在
附近单调递减． 当
时，曲线
在
处的切线
的斜率
，所以，在
附近曲线下降，即函数
在
附近单调递减． 从图3.1-3可以看出，直线
的倾斜程度小于直线
的倾斜程度，这说明曲线在
附近比在
附近下降的缓慢． 例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度
(单位：
)随时间
（单位：
）变化的图象．根据图像，估计
时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到
）． 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度
在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线
在此点处的切线的斜率． 如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值． 作
处的切线，并在切线上去两点，如
，
，则它的斜率为：
所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
0.2 0.4 0.6 0.8  药物浓度瞬时变化率
0.4 0 -0.7 -1.4  四．课堂练习 1．求曲线y=f(x)=x3在点
处的切线； 2．求曲线
在点
处的切线． 五．回顾总结 1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．布置作业

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