第一章 集合
一、知识结构
二、重点难点
重点：
集合的表示方法；子集的概念；集合的交、并运算；
难点：
集合概念的理解；集合的补集运算；交与并的区别； 第一课时 集合的含义
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．初步理解集合的含义，常用数集及其记法；
2．集合中的元素的特性；
3．理解属于关系和相等的意义；集合的分类；
4．集合的分类.
【课堂互动】
自学评价
1．集合的含义： 构成一个集合(set).
注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.
（2）集合是一个“整体.
（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的
2．集合中的元素：
集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.
集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A,
元素一般用小写拉丁字母表示.如a,b,c……等.
思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？
【答】
3．集合中元素的特性：
（1）确定性.设A 是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.
4．常用数集及其记法：
一般地，自然数集记作____________
正整数集记作__________或___________
整数集记作________有理数记作_______
实数集记作________
5．元素与集合的关系：
如果a是集合A的元素，就记作__________
读作“___________________”；
如果a不是集合A的元素，就记作______
或______读作“_______________”；
6．集合的分类：
按它的元素个数多少来分：
（i） _________________
叫做有限集；
（ii）________________________
叫做无限集；
（iii） _______________
叫做空集，记为_____________
【精典范例】
一、运用集合中元素的特性来解决问题
例1．下列研究的对象能否构成集合
（1）世界上最高的山峰
（2）高一数学课本中的难题
（3）中国国旗的颜色
（4）充分小的负数的全体
（5）book中的字母
（6）立方等于本身的实数
（7）不等式2x-8<13的正整数解
【解】
（1）能 （2）不能
（3）能 （4）不能
（5）能 （6）能
（7）能
点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，
要么不是这个集合的元素，即元素确
定性.
例2：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？
分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同，联列不等式组.
【解】
所以x的范围是：
点评: 元素的特性（特别是互异性）
是解决问题的切入点.
例3：三个元素的集合1，a，，也可表示
为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．
分析：三个元素的集合也可表示另外一种形
式，说明这两个集合相同，而该题目
从特殊元素0入手，可以省去繁琐的
讨论．
【解】
依题意得 则b=0
所以 则
由互异性知
所以 a2005+b2006=-1
点评:从特殊元素入手，灵活运用集合的三
个特征．
二、运用元素与集合的关系来解决一
些问题
例4：集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b
∈Z)组成，判断下列元素与集合A的
关系？
（1）0 （2）
（3）
分析：先把x写成a+b的形式，再观察
a，b是否为整数.
【解】
（1）因为，所以
（2）因为，
所以
（3）因为， 所以
点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元
素，就是看这个元素是否满足该集合
的特性或具体表达形式.
例5：不包含-1，0，1的实数集A满足条件a∈A，则∈A，如果2∈A,求A中的元素？
分析：该题的集合所满足的特征是由抽象的
语句给出的，把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素，但该题要循环代入，求出其余的元素，同学们可能想不到.
【解】
∵ 2∈A ∴ -3∈A
∵ -3∈A ∴ ∈A
∵ ∈A ∴ ∈A
∵ ∈A ∴ 2∈A
综上所述，集合A中的元素为：
2，-3，，
追踪训练
1．下列研究的对象能否构成集合
① 某校个子较高的同学；
② 倒数等于本身的实数
③ 所有的无理数
④ 讲台上的一盒白粉笔
⑤中国的直辖市
⑥中国的大城市
2．下列写法正确的是___________________
①Q
②当n∈N时，由所有(-1)n的数值组成的集合为无限集
③R
④-1∈Z ⑤由book中的字母组成的集合与元素k，o，b组成的集合是同一个集合
把正确的序号填在横线上
3．用∈或填空
1_______N -3_________N 0__________N ________N
1_______Z -3_________Q 0__________Z ________R
0_______N* ________R _______Q cos300_______Z
4． 由实数-x，|x|，，x，组成的集合最多含有元素的个数
是_________________个
【选修延伸】
例6：设S是满足下列两个条件的实数所构成
的集合：
①1∈S，②若，则，请
解答下列问题：
（1）若2∈S，则S中必有另外两个数，求
出这两个数；
（2）求证：若，则
（3）在集合S中元素能否只有一个？请说明
理由；
（4）求证：集合S中至少有三个不同的元素.
【解】
（1），（2）略
（3）集合S中的元素不能只有一个.
证明：假设集合S中只有一个元素，则根据
题意知a=,此方程无解，∴a≠
∴集合S中的元素不能只有一个.
（4）证明：有（2）知，，，
现在a，，三个数互不相等.
①若a=,此方程无解，∴a≠
②若a=，此方程无解，∴a≠
③若=，此方程无解，
∴≠
综上所述，集合S中至少有三个不同的元素.
点评: （4）证明中需说明三个数互不相等，
否则证明欠严谨.数学是一门非常
严谨的科学.
【师生互动】
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【点此下载】