第11课时 直线与平面垂直(2)
一、【学习导航】
知识网络
学习要求
1.了解直线和平面所成角的概念和范围;
2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.
【课堂互动】
自学评价
斜线的定义:
斜足定义:
斜线段定义:
２．直线和平面所成角的定义：
线面角的范围：
【精典范例】
例1：.如图，已知AC，AB分别是平面α的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，aα，求证：a⊥BC
证明：见书3６例3
例2.求证: 如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直, 那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直.
已知：
求证：
证明：
证明：略
点评：
上述两题是三垂线定理及其逆定理，今后在证明其它问题时可直接使用。
例３.如图, ∠BAC在平面α内, 点Pα, ∠PAB=∠PAC . 求证: 点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
证明：见书3６例４
思考：你能设计一个四个面都是直角的四面体吗?
思维点拨：
要证线面垂直，通常是从线线垂直来证明，而要证明线面垂直，通常又是从线线垂直来证明，即线线垂直和线面垂直互相转化．
追踪训练
1.如图，∠BCA=90°，PC⊥面ABC，则在三角形ABC，三角形PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有AC,AB,BC
(2)与AP垂直的直线有BC
2.若直线a与平面α不垂直，那么在平面内α与直线a垂直的直线 (B )
A.只有一条
B.有无数条
C.是平面α内的所有直线
D.不存在
3.从平面外一点向平面引斜线段，如果斜线段长相等，那么它们在平面内的射影相等吗？
答：相等
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Ｐ为DD１的中点，O为底面ABCD的中心，
求证：B１O⊥平面PAC
点拨：使B１O垂直与平面ABC内的两条相交直线．
【选修延伸】
Ｒt△ABC的斜边ＢＣ在平面Ｍ内，两直角边和平面Ｍ所成的角分别是４５°和３０°，求斜边的高ＡＤ和平面Ｍ所成的角
答：ＡＤ和平面Ｍ所成的角60°
总结：要求斜线AD与平面M所成的角，找出斜线ＡＤ在平面Ｍ内的射影是关键．
解题步骤：①作，②证，③求。
追踪训练
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求ＡＤ１与平面ABCD所成的角，
求ＡＤ１与平面A1D1CB所成的角
(1) 45°
(2) 30°
第11课时 直线与平面垂直
分层训练
1.已知a⊥平面α, bα, 则a与b的位置关系是 ( )
A. a // b B. a⊥b
C. a 与b垂直相交 D. a与b垂直且异面
2.下列命题中正确的是(其中a、b、c为不相重合的直线, α为平面) ( )
①若b // a , c // a , 则b // c
②若b⊥a , c⊥a , 则b // c
③若a //α, b //α, 则a // b
④若a⊥α, b⊥α, 则a // b
A. ① ② ③ ④ B. ① ④
C. ① D. ④
3.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题
(1)若α//β，则l⊥m
(2) 若α⊥β，则l//m
(3)若l//β，则α⊥β
(4) 若l⊥m，则α//β
其中正确的两个命题是 ( )
Ａ (1)和(2) B(3)和(4)
C. (2)和(4) D(1)和(3)
3.已知直线a // 平面α, 直线b⊥平面α, 则a 、b的位置关系______________ .
4.在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形, PA⊥平面ABCD, 则这个多面体面是直角三角形的为______________ .
5.如图, 在正方形ABCD-A1B1C1D1中, 则BD1与AC的位置关系___________ . BD1与B1C的位置关系___________ . 进而可得BD1与平面ACB1的关系___________ .
6.如图。一点P不在ΔABC所在的平面内，O是ΔABC的外心，若PA=PB=PC.
求证：PO⊥平面ABC.
选修延伸
1.证明: 过一点和已知平面垂直的直线只有一条.
2．已知直线a//平面α，直线b⊥平面α,求证：a ⊥b
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