第三课时 子集 全集 补集 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解集合之间包含关系的意义； 2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示； 3．子集、真子集的性质； 4．了解全集的意义，理解补集的概 念． 【课堂互动】 自学评价 1．子集的概念及记法： 如果集合A的任意一个元素都是集合B 的元素（ ），则称 集合 A为集合B的子集（subset）,记为 ___________或___________读作“______ __________”或“__________________” 用符号语言可表示为：________________ ____________________________________ 如右图所示： _______________________ 注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B； （2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合. 2．子集的性质： ① A
A ②
③
,则
思考:
与
能否同时成立？ 【答】 _________ 3．真子集的概念及记法： 如果
，并且A≠B，这时集合 A称 为集合B的真子集（proper set）,记为 _________或_________读作“__________ __________”或“__________________” 4．真子集的性质： ①
是任何非空集合的真子集 符号表示为___________________ ②真子集具备传递性 符号表示为___________________ 5．全集的概念： 如果集合U包含我们所要研究的各个集合， 这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____ 6．补集的概念： 设____________，由U中不属于A的所有元 素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________ 读作“__________________________” 即：
=_______________________
可用 右图阴影部 分来表示： __________________ 7．补集的性质： ①
=__________________ ②
=__________________ ③
=______________ 【精典范例】 一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式 例1． 写出集合{a，b}的所有子集及其真子集； 写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集； 分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏， 但应注意两个特殊的子集：
和本身． 【解】 ①集合{a，b}的所有子集为：
，{a }，{ b}，{a，b}； ②集合{a，b，c}的所有子集为：
，{a }，{ b}，{c}，{a，b} {a，c}，{b，c}，{a，b，c}． 点评:写子集，真子集要按一定顺序来写． ①一个集合里有n个元素，那么它有2n个子集； ②一个集合里有n个元素，那么它有2n-1个真子集； ③一个集合里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集． 二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系 例2： 以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来． （1）a与{a} 0 与
（2）
与{20，
，
，
} （3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}， B={-2，2}； （4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }； （5）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 } 【解】 点评: ① 判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等． ②元素与集合之间用_______________ 集合与集合之间用_______________ 追踪训练一 1．判断下列表示是否正确： (1) a
{a } (2) {a }∈{a，b } (3) {a，b }
{b，a } (4) {-1，1} {-1，0，1} (5)
{-1，1} 2．指出下列各组中集合A与B之间的关系． (1) A={-1，1}，B=Z； (2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正 约数}； (3) A = N*，B=N (4) A ={x|x=1+a2,a∈N*} B={x|x=a2-4a+5,a∈N*} 3．（1）已知{1，2 }
M
{1，2，3，4， 5}，则这样的集合M有多少个？ （2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7 ,8，9}，集合P满足：P
M，且 若
，则10-
∈P，则这样 的集合P有多少个？ 4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来． (1)
与{0} (2) {-1，1}与{1，-1} (3) {(a,b)} 与{(b,a)} (4)
与{0，1，
} 三、运用子集的性质 例3：设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B= {x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若B
A， 求实数a的取值范围． 分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素， 在由B
A，可知，集合B按元素的 多少分类讨论即可． 【解】 A={x|x2+4x =0，x∈R}={0，-4} ∵ B
A ∴ B=
或{0}，{-4}，{0，-4} ①当B=
时，⊿=[2(a+1)]2-4?(a2-1)<0 ∴ a< -1 ②当B={0}时，
∴ a=-1 ③当B={-4}时，
∴ a=
④当B={0，-4}时，
∴ a=1 ∴ a的取值范围为：a<-1，或a=-1，或a=1． 点评: B=
易被忽视，要提防这一点． 四、补集的求法 例4：①方程组
的解集为A， U=R，试求A及
． ②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，
是
的真子集，求实数a的取值范围． 【解】 ① A={x|
}，
={x|x≤
或x>2} ② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，
={x|x≤1} ∵
是
的真子集 如图所示：
∴ -a ≤ 1即a≥-1 点评: 求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观． 追踪训练二 1．若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1， k∈Z}，则
___________
___________： 2．设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知 A={b，2}，
={5}，求实数a，b的值． 3．已知集合A={x|x=a+
，a∈Z}，B={x|x=
，b∈Z}，C={x|x=
，c∈Z}，试判断A、B、C满足的关系 4．已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0} B
A，求a，b的取值范围． 思维点拔： 集合中的开放问题 例5: 已知全集S={1，3x3+3x2+2x}，集合 A={1，|2x-1|}，如果
={0}，则这样的 实数x是否存在？若存在，求出x，若不 存在，请说明理由． 点拔： 由
={0}，可知，0∈S，但0
，由 0∈S，可求出x，然后结合0
，来验证 是否符合题目的隐含条件
，从而确定 x是否存在． 学生质疑   教师释疑    【师生互动】 第3课 子集、全集、补集 分层训练 1． 设M满足{1，2，3}
M
{1，2，3，4，5，6}，则集合M的个数为 （ ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．下列各式中，正确的个数是 （ ） ①
={0}；②
{0}； ③
∈{0}； ④0={0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1，2，3}； ⑦{1，2}
{1，2，3}； ⑧{a，b}
{a，b}． A．1 B．2 C．3 D．4 3．若U={x|x是三角形}，P={x|x是直角三角形}则
（ ） A．{x|x是直角三角形} B．{x|x是锐角三角形} C．{x|x是钝角三角形} D．{x|x是钝角三角形或锐角三角形} 4．设A={x|10}和 P={(x,y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系 为____________________________． 7．集合A={x|x=a2-4a+5，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+3，b∈R} 则集合A与集合B的关系是___________________． 8．设x，y∈R，B={(x,y)|y-3=x-2}，A= {(x,y)|
=1}，则集合A与B的关系 是____________________________． 9． 已知a∈R，b∈R，A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3，1} 求 （1）A={2，3，4}的x值； （2）使2∈B，B A，求a,x的值； （3）使B= C的a，x的值． 10．设全集U={2，4，3-x}，M={2，x2-x+2}，
={1}，求x． 拓展延伸 11． 已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若M P，求实数a的取值范围． 12． 选择题： （1）设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P⊕Q={(a,b)|a∈P，b∈Q}， 则P⊕Q的真子集个数 （ ） A．23-1 B．27-1 C．212 D．212-1 （2）集合M={x|x∈Z且
}，则M的非空真子集的个数是 （ ） A．30个 B．32个 C．62个 D．64个 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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