1.4.2全称量词与存在量词（二）量词否定
教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.
教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；
教学难点：隐蔽性否定命题的确定；
课 型：新授课
教学手段：多媒体
教学过程：
一、创设情境
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
二、活动尝试
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）(x(R，x2-2x+1≥0
分析：（1）(，否定：存在一个矩形不是平行四边形；
（2），否定：存在一个素数不是奇数；
（3），否定：(x(R，x2-2x+1<0；
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.
三、师生探究(
问题2：写出命题的否定
（1）p：( x∈R，x2＋2x+2≤0；
（2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：有些函数没有反函数；
（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；
分析：（1）( x(R，x2＋2x+2>0；
（2）任何三角形都不是等边三角形；
（3）任何函数都有反函数；
（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；
从集合的运算观点剖析：,
四、数学理论
1.全称命题、存在性命题的否定
一般地，全称命题P：( x(M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：(x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：(x(M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：( x(M,有P（x）不成立。
用符号语言表示：
P:((M, p(x）否定为( P: ((M, ( P（x）
P:((M, p(x）否定为( P: ((M, ( P（x）
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.
2.关键量词的否定
词语
是
一定是
都是
大于
小于
且
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
词语
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
所有x不成立
词语的否定
一个也没有
至多有n-1个
至少有两个
存在一个x不成立
存在有一个成立
五、巩固运用
例1 写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练；
（2）p：(x(R，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；
（4）p：( x∈R，x2－x+1＝0；
分析：（1）( P：有的人不晨练；（2）( x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）(x(R，x2－x+1≠0；
例2 写出下列命题的否定。
（1） 所有自然数的平方是正数。
（2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
（4） 有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例3 写出下列命题的否定。
（1） 若x2＞4 则x＞2.。
（2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）
（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）
（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。
（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）
例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。
（1）p：若x＞y,则5x＞5y；
（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；
（3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。
解：（1）( P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题
否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题
（2）( P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题
否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。
（3）( P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。
（4）( P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。
评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。
3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则(q”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。
六、回顾反思
在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
七、课后练习
1．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）
A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；
B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
3．命题“(x(R，x2-x+3>0”的否定是
4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是
否命题是
5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：(m∈R，方程x2+x-m=0必有实根；
（2）q：((R，使得x2+x+1≤0；
6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：
（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．
（2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角．
（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．
（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．
八、参考答案：
1． B
2．C
3．( x(R，x2-x+3≤0
4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除
否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除
5．（1）(p：(m∈R，方程x2+x-m=0无实根；真命题。
（2）(q：((R，使得x2+x+1>0；真命题。
6． ⑴ 若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，(真)；
⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；
⑶若是锐角三角形， 则的任何一个内角不都是锐角(假)；
⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；
⑸若(x-1)(x-2)=0，则 或，(真)．
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