第十课时 函数的奇偶性（1）
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学习要求
1．了解函数奇偶性的含义；
2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；
3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质
自学评价
1．偶函数的定义：
如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数．
注意：（１） “任意”、“都有”等关键词；
（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
2．奇函数的定义：
如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数．
3．函数图像与单调性：
奇函数的图像关于原点对称；
偶函数的图像关于轴对称．
4．函数奇偶性证明的步骤：
（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；
（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系 ；
(3)下结论 .
【精典范例】
一．判断函数的奇偶性：
例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数：
判断下列函数的奇偶性：
(1) (2)
(3)，
(4) (5)
析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。
【解】(1) 函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以该函数是奇函数。
(2)函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非奇非偶函数。
(3) 函数，的定义域为不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数。
(4)函数的定义域为，关于原点对称，，所以该函数既是奇函数又是偶函数。
(5) 函数的定义域为，关于原点对称，，所以该函数是偶函数。
二．根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值：
例2：已知函数是定义域为的奇函数，求的值．
【解】
∵是定义域为的奇函数，
∴对任意实数都成立，
把代入得
，
∴．
三．已知函数的奇偶性求参数值：
例3：已知函数是偶函数，求实数的值．
【解】∵是偶函数，∴恒成立，
即恒成立，
∴恒成立，∴，即．
追踪训练一
1. 给定四个函数；；；；其中是奇函数的个数是(B)
１个 ２个
３个 ４个
2. 如果二次函数是偶函数，则 ３．
3. 判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）
解：(1)函数的定义域为，关于原点对称，
对于定义域中的任意一个，
所以该函数是偶函数；
(2)函数 的定义域得关于原点对称，此时
对于定义域中的任意一个，
所以该函数是奇函数；
(3) 函数的定义域为关于原点对称，此时，所以该函数既是奇函数又是偶函数。
【选修延伸】
构造函数的奇偶性求函数值：
例３: 已知函数若，求的值。
析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题。
【解】
方法一： 由题意得①
②
①＋②得
∵
∴
方法二： 构造函数，
则一定是奇函数
又∵，∴
因此 所以，即．
说明：
１．如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；
根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；
２．奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；
思维点拔：
一、等式和的变形形式：
我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中，处了将进行化简，其方向是或以外，我们还可以看到其等价形式、或当恒成立时，也有、．
追踪训练
1．下列结论正确的是： (C )
偶函数的图象一定与轴相交；
奇函数的图象一定过原点；
偶函数的图象若不经过原点，则它与轴的交点的个数一定是偶数；
定义在上的增函数一定是奇函数．
2. 若函数为奇函数，且当时，，则当时，有（C） （ ）
≤0
－
3. 设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．
①y=－| f（x）|
②y=xf（x2）
③y=－f（－x）
④y= f（x）－f（－x）
中必为奇函数的有____②④____________．（要求填写正确答案的序号）．
4. 设奇函数f（x）的定义域为[－5,5].
若当x∈[0,5]时, f（x）的图象如下图,则
不等式的解是 .
5．若是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，求的表达式．
解：由题意得：
则
第10课 函数的奇偶性(1)
分层训练
1．设定义在R上的函数f（x）＝｜x｜，则
（ ）
A．既是奇函数，又是增函数
B．既是偶函数，又是增函数
C．既是奇函数，又是减函数
D．既是偶函数，又是减函数
2．y＝f（x）（x∈R）是奇函数，则它的图象必经过点 （ ）
A．（－a，－f（－a））
B．（a，－f（a））
C．（a，f（））
D．（－a，－f（a））
3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 （ ）
A．最大值 B．最小值
C．没有最大值 D．没有最小值
考试热点
4．设为定义在上的奇函数，满足，当时，则等于 （ ）
A． B． C． D．
5．设f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c是常数)且
,则f（7）= ______.
6．f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,它们的定义域都是{x|x≠±1,x∈R}且满足f(x)+g(x)= ,则f(x)=____ , g(x)=______ .
7．判断下列函数的奇偶性
①；
②；
③；
拓展延伸
8．求证：函数是奇函数。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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