第一节 圆的方程（1）
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学习要求
1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；
2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；
3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．
【课堂互动】
自学评价
1. 以为圆心，为半径的圆的标准方程：.
2. 圆心在原点，半径为时，圆的方程则为：；
3. 单位圆：圆心在原点且半径为１的圆；其方程为：．
注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径．
【精典范例】
例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：
⑴；
⑵
⑶
⑷
⑸
【解】（如下表）
方程
圆心
半径
点评：本题考察了对圆的标准方程的认识，根据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径．
例2：（１）写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；
（２）求圆心是，且经过原点的圆的方程．
分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程．
【解】（１）∵圆心为，半径长为，
∴该圆的标准方程为：．
把点代入方程的左边，
＝右边，
即点的坐标适合方程，
∴点是这个圆上的点；
把点的坐标代入方程的左边，
．
即点坐标不适合圆的方程，
∴点不在这个圆上．
（２）法一：∵圆的经过坐标原点，
∴圆的半径为：
，
因此所求的圆的方程为：
，
即．
法二：∵圆心为，
∴设圆的方程为，
∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程
即，所以，
∴所求圆的标准方程为：
．
点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法．
例3：（１）求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程；
（２）已知两点，，求以线段为直径的圆的方程．
分析：（１）已知与圆心坐标和该圆与轴相切即可求出半径．（２）根据为直径可以得到相应的圆心与半径．
【解】（１）∵圆与轴相切
∴该圆的半径即为圆心到轴的距离；
所以圆的标准方程为：
．
（２）∵为直径，
∴的中点为该圆的圆心即，
又因为
，所以，
∴圆的标准方程为：
．
点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用．
例４：已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？
分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，
关键
在于
写出
半圆的方程，
对应求出当
时的值，
比较得出结论．
【解】以某一截面半圆的
圆心为原点，半圆的直径
所在的直线为轴，
建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：
将代入得
，
即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．
点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．
思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？
解：将代入得，
即限高为．
追踪训练一
1.写出下列各圆的方程：
（１）圆心在原点，半径为；
（２）经过点，圆心为．
【解】（１）；
（２）．
２．求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程．
【解】由题意：半径，
所以圆的方程为：．
３. 圆的内接正方形相对的两个顶点为，，求该圆的方程．
【解】由题意可得为直径，
所以的中点为该圆的圆心即
又因为
∴，
∴圆的标准方程为：
．
４．求过两点，，且圆心在
直线上的圆的标准方程．
【解】设圆心坐标为，圆半径为，
则圆方程为，
∵圆心在直线上，
∴ ①
又∵圆过两点，，
∴ ②
且 ③
由①、②、③得：，
∴圆方程为．
思维点拔：
由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程．在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识．
第12课时 圆的方程（１）
分层训练
１．的圆心坐标与
半径分别为（ ）
， ，
， ，
２．圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）
３．圆的周长和面积分别为（ ）
４．若点在圆 的内部,则实数的取值范围是( )
５．若过点和，则下列直线中一定经过该圆圆心的是( )
６．自点作圆的切线，则切线长为（ ）
７．已知圆的方程为
，确定下述情况下应满足的条件：
（1）圆心在轴上： ；
（2）圆与轴相切： ；
（3）圆心在直线上：_________．
８．过点且与轴切于原点的圆的方程为________________．
９．求：关于直线对称的的标准方程．
【解】
１０．与直线相切于点，且圆心到轴的距离等于，求的方程．
【解】
拓展延伸
１１．若经过点，且和直线
相切，并且圆心在直线上，求的方程．
【解】
１２．若与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求的方程．
【解】
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