第十三课时 映射的概念 【学习导航】 知识网络 映射
学习要求 1、了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射。 2、通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系。 自学评价 1、对应是两个集合元素之间的一种关系，对应关系可用图示或文字描述来表示。 2、一般地设A、B两个集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f:A→B 3、由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A、B为两个非空数集。 【精典范例】 一、判断对应是否为映射 例1、下列集合M到P的对应f是映射的是( ) A.M={－2，0，2}，P={－1，0，4},f：M中数的平方 B.M={0，1}，P={－1，0，1}，f:M中数的平方根 C.M=Z，P=Q，f:M中数的倒数。 D.M=R，P=R+，f:M中数的平方 【解】： 判定对应f:A→B是否是映射，关键是看是否符合映射的定义，即集合A中的每一个元素在B中是否有象且唯一，若不是映射只要举一反例即可。 答案：选择A 二、映射概念的应用 例2、已知集合A=R，B={(x,y)|x,y∈R}，f:A→B是从A到B的映射，f:x→(x+1,x2+1)，求A中的元素
在B中的象和B中元素(
,
)在A中的原象。 思维分析：将x=
代入对应关系，可求出其在B中对应元素，(
,
)在A中对应的元素可通过列方程组解出。 【解】： 将x=
代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(
+1，3). 可通过列方程组也可求出(
,
)在A中对应的元素为
三、映射与函数的关系 例3、给出下列四个对应的关系 ①A=N*,B=Z,f:x→y=2x－3； ②A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y∈N*,y≤5}，f:x→y=|x－1|； ③A={x|x≥2}，B={y|y=x2－4x+3}，f:x→y=x－3； ④A=N,B={y∈N*|y=2x－1，x∈N*}，f:x→y=2x－1。 上述四个对应中是函数的有( ) A.① B.①③ C.②③ D.③④ 思维分析：判断两个集合之间的对应是否构成函数，首先应判断能否构成映射，且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应。 【解】： ①中，对x∈A，在f作用下，在B中都有唯一的象，因此能构成映射.由于A、B均为非空数集，因而能构成函数；②中，当x=1时,y=0
B，即集合A中的元素1在集合B中无象，因而不能构成映射，从而也不能构成函数；④中，当x=0时，y=－1
B，即0在B中无象，因而不能构成映射，也就不能构成函数；③中的两个对应符合映射的定义，且两个集合均为非空数集，因而能构成函数。 答案：B 【选修延伸】 求映射的个数问题 例4、已知A={a,b,c}，B={－1，0，1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c)，求映射f: A→B的个数。 思维分析：可让A中元素在f下对应B中的一个、两个或三个元素，并且满足f(a)+f(b)=f(c)，需分类讨论。 【解】：(1)当A中三个元素都是对应0时，则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有1个映射。 (2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个，分别为1+0=0，0+1=0，(－1)+0=－1,0+(－1)=－1. (3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时，有两个映射，分别为(－1)+1=0，1+(－1)=0. 因此满足题设条件的映射有7个。 追踪训练 1、下列对应是A到B上的映射的是( ) A.A=N*,B=N*,f:x→|x－3| B.A=N*，B={－1,1, －2}，f:x→(－1)x C.A=Z,B=Q,f:x→
D.A=N*，B=R，f:x→x的平方根 答案：B 2、设f:A→B是集合A到B的映射，下列命题中是真命题的是( ) A.A中不同元素必有不同的象 B.B中每一个元素在A中必有原象 C.A中每一个元素在B中必有象 D.B中每一个元素在A中的原象唯一 答案：C 3、已知映射f: A→B,下面命题： (1)A中的每一个元素在B中有且仅有一个象； (2)A中不同的元素在B中的象必不相同； (3)B中的元素在A中都有原象 (4)B中的元素在A中可以有两个以上的原象也可以没有原象。 假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 4、已知映射f: A→B，其中集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：A 5、若f:y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射，该映射满足B中任何一个元素均有原象，求自然数a、k及集合A、B. 答案：a=2, k=5, A={1,2,3,5} B={4,7,10,16} 分层练习 1、下列从A到B的对应是映射的是（ ） A.A=R，B=R+，f:取绝对值 B、A= R+，B=R，f:开平方 C、A= R+，B=R，f:x→
D、A=Q，B={偶数}，f:乘2 2、设集中A={2，4，6，8，10}，B={1，9，25，49，81，100},下面的对应关系f能构成A到B的映射的是（ ） A、f:x→(2x-1)2 B、f:x→(2x-3)2 C、f:x→-2x-1 D、f:x→(2x-1)2 3、已知集合A=N*，B={整奇数}，映射f:A→B，使A中任一元素α与B中元素2α-1相对应，则与B中元素17对应的A中的元素为（ ） A、3 B、5 C、17 D、9 4、点（x,y）在映射f下的对应元素为（
），则点（2，0）在f作用下的对应元素（x,y）为 （ ） A、（0，2） B、（2，0） C、（
，-1） D、（
，1） 5、设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x,y）|x∈R，y∈R},映射f:A→B,把集合A中的元素（x,y）映射成集合B中的元素（x+y,x-y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（ ） A、（3，1） B、（
） C、（
） D、（1，3） 6、已知集合A={a,b},B={c,d},则从A到B的不同的映射有 个。 7、已知从A到B的映射是f1:x→2x-1,从B到C的映射f2:y→
,则从A到C 的映射f:x→ 8、已知A={a,b,c},B={1,2},从A到B建立映射f，使f(a)+f(b)+f(c)=4，则满足条件的映射共有 个 9、设集合A和B都是自然数集合N
，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2
+n，则在映射下，象20的原象是（） A、2 B、3 C、4 D、5 拓展延伸： 10、对于A={x|a
}，B={y|c
}(a
且c
d)，有没有一个对应法则f，使从A到B是一个映射，并且B中每一个元素在A中都有原象，若有，写出一个f；若没有，说明理由。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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