第二章 平面解析几何初步
第二节 圆与方程
第15课时 圆与圆的位置关系
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学习要求
1．掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；
2．了解用代数法研究圆的关系的优点；
3．了解算法思想．
【课堂互动】
自学评价
1．圆与圆之间有外离，外切，相交，
内切，内含五种位置关系．
2.设两圆的半径分别为，圆心距为，
当时，两圆外离，
当时，两圆外切，
当时，两圆相交，
当时，两圆内切，
当时，两圆内含．
3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？
【精典范例】
例1：判断下列两圆的位置关系：
【解】（1）根据题意得，两圆的半径分别为，两圆的圆心距
因为 ，所以两圆外切．
（2）将两圆的方程化为标准方程，得．
故两圆的半径分别为，
两圆的圆心距
．
因为，所以两圆相交．
点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断
与的大小，有时还需要判断与的关系．
例2：求过点且与圆
切于原点的圆的方程．
分析：如图，所求圆经过原点和，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．
【解】将圆化为标准方程，得
，
则圆心为，半径为．所以经过此圆心和原点的直线方程为．
设所求圆的方程为．
由题意知，在此圆上，且圆心在直线上，则有
于是所求圆的方程是．
点评：此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，圆心必在直线上，又圆心在直线，从而圆心坐标为，，所以所求圆的方程为．
追踪训练一
1.判断下列两个圆的位置关系：
；
．
答案：（1）内切，（2）相交．
2. 若圆与圆
相交，求实数的取值范围．
答案：．
【选修延伸】
一、两圆公共弦长及公共弦所在直线方程
例3: 已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去项、项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．
【解】设两圆交点为、，则两点坐标满足方程组
，得．
因为，两点坐标都满足此方程，
所以，即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆的圆心，半径．
又到直线的距离为
．所以，
．即两圆的公共弦长为．
点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要 注重分析．
例5：求过两圆 的交点，且圆心在直线上的圆的方程．
分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之间的关系求圆半径
【解】（法一）可求得两圆连心线所在直线的方程为．
由得圆心．
利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长， 所以，圆半径
．
所以，所求圆方程为，
即
（法二）设所求圆的方程为即．
故此圆的圆心为，它在直线上， 所以，所以．
所以所求圆方程为
点评:“解法二”中设出的经过两已知圆交点的圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程．
思维点拔：
解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质．
追踪训练二
1．一个圆经过圆和圆的两个交点，且圆心在直线上，求该圆的方程．
答案：．
2．已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．
答案：．
第15课 圆与圆的位置关系
分层训练
圆与圆
的位置关系是 （ ）
相离 相交 外切 内切
两圆：，：
的公切线有（ ）
2条 3条 4条 0条
3．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程(动圆圆心坐标所满足的关系式)为（ ）
或
或
4．若圆始终平分圆的圆周，则应满足的关系式为 （ ）
5．若圆和圆关于直线对称，则的方程为 ．
6．圆与圆相交于两点，则直线的方程为 ，公共弦的长为 ．
7．已知动圆恒过一个定点,这个定点的坐标是______ ．
8．求经过点，且与圆相切于点的圆的方程．
9．求与两条平行直线和
相切，且圆心在直线上的圆的方程．
拓展研究
10．已知圆与圆相交于两点．
（1）求直线的方程；
（2）求经过两点且面积最小的圆的方程；
（3）求圆心在直线上，且经过两点的圆的方程．
11．若两圆及在交点处的切线互相垂直，求实数的值．
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