第二章 平面解析几何初步 第三节 空间直角坐标系 第17课时 空间两点间的距离 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式； 2．理解推导公式的方法 【课堂互动】 自学评价 1．空间两点间距离公式
． 空间中点坐标公式 连接空间两点
、
的线段
的中点
的坐标为
． 【精典范例】 例1：求空间两点
间的距离
． 【解】利用两点间距离公式，得
=

． 例2：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为
．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程． 【解】与坐标原点的距离为1的点
的轨迹是一个球面，满足
，即
．因此
，就是所求的球面方程． 例3：已知三点
、
、
，证明：
三点在同一直线上． 分析：只要证明
即可 【解】利用两点间距离公式，得
、
、
， 所以
， 所以
三点在同一直线上． 追踪训练一 1.已知空间中两点
和
的距离为
，求
的值． 答案：
或
2．已知
，在
轴上求一点
，使
． 答案：
或
3．已知空间三点
，
，求证：
在同一直线上． 答案：
，

．
，
在同一直线上． 【选修延伸】 一、球面方程 例4: 讨论方程

的几何意义． 分析：类比空间两点的距离公式，构造点
【解】因为
， 所以
即动点
到定点
的距离等于4， 所以
． 表示动点
的轨迹：一个半径为4，球心为
的球面 思维点拔： 注意类比方法在解决一些空间问题中的应用． 追踪训练二 1. 试解释方程

的几何意义． 答案：方程表示点
与点
的距离为
，即点
在以点
为球心，半径为
的球面上． 第17课 空间两点间的距离 分层训练 1．空间两点
之间的距离等于 （ ）
21





2．空间两点
，且
，则
等于 （ ）
4
2
6
2或6 3．已知空间两点
，线段
的中点为
，则坐标原点
到
点的距离为 （ ）


1
5

4．以
、
、
三点为顶点的三角形是 （ ）
等腰三角形
等边三角形
直角三角形
等腰直角三角形 5．
轴上到点
距离为等于
的点的坐标为 ． 6．与点
距离等于3的点
的坐标满足的条件是 ． 7．三角形的三个顶点
、
、
，则过
点的中线长为 ． 8．设
是
轴上的点，它到点
的距离为到点
的距离的两倍，求点
的坐标． 拓展延伸 9．如图，正三棱柱
中，底面边长为1，侧棱长为
，
分别是
边的中点，求线段
的长． 10．若点
到
三个顶点的距离的平方和最小，则点
就是
的重心． （1）已知
的三个顶点分别为
、
、
，求
的重心
的坐标； （2）
的顶点坐标分别为
，
，
，重心
的坐标为
，求
的值． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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