第二十五课时 对数函数（3）
学习要求
1.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域和单调性等；
2.能熟练地运用对数函数的性质解题；
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
自学评价
1．
2.
3.
4.
【精典范例】
例1：讨论函数的奇偶性与单调性。
【解】由题意可知：解得：
定义域为
又
为偶函数
证明：在是任取
令,,则
，
即
又在上是增函数
即
在上单调递增。
同理可证：在上单调递减。
点评:判断函数奇偶性，必须先求出定义域，单调性的判断在定义域内用定义判断。
例2：(1)求函数的单调区间．
(2)若函数在区间上是增函数，的取值范围．
【解】(1)令在上递增，在上递减，
又∵， ∴或，
故在上递增，在上递减， 又∵为减函数，
所以，函数在上递增，在上递减．
(2)令，
∵函数为减函数，
∴在区间上递减，
且满足，
∴，解得
，
所以，的取值范围为．
点评:利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间．
例3：已知满足
，
求函数的最值。
【解】由题意：
可转化为：，将看作整体，
解得：，
即，
所以
令，
则
则
所以，
点评:利用函数的单调性求函数最值（或值域）是求函数最值（或值域）的主要方法之一，本题首先要根据条件求出的取值范围，体现了整体思想方法，然后转化为二次函数，体现了化归的思想方法，换元法的使用是实现化归思想的一种手段，也是化归的一个过程。
追踪训练一
函数的定义域
是（0，2）,值域是，
单调增区间是（0，1）
2．求函数
的最小值和最大值。
答案：1。定义域：
值域：
单调增区间：
2．最小值， 最大值7
【选修延伸】
一、对数与方程
例4:若方程的所有解都大于1，求的取值范围。
分析：由对数函数的性质，方程可变形为关于的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论。
【解】原方程可化为：
即
令，则方程等价于
若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解都大于0，则
解得：
思维点拔：
（1）有关对数方程解的情况讨论，通常是利用换元法，将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论；如果是方程解的个数问题，又可以用函数的图象求解，如求方程的实根的个数。
（2）换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。
追踪训练二
已知方程
（1）若方程有且只有一个根，求的取值范围 ．
（2）若方程无实数根，求的取值范围 ．
答案：（1）
（2）
第25课 对数函数（3）
分层训练
1．函数的定义域和值域都是，则的值为 （ ）
2．函数是 （ ）
奇函数且在上递增
偶函数且在上递增
奇函数且在上递减
偶函数且在上递减
3．已知函数
若则（ ）
（A） （B）－ （C）2 （D）－2
4．函数的递减区间是 ．
5． 若函数在上单调递减，则的取值范围是 （ ）
6．方程的实数解的个数是 （ ）
0 1 2 3
7．已知函数在区间上满足，则 的取值范围是 ．
8．若，求函数
的值域。
9．求的取值范围，使关于的方程有两个大于的根．
拓展延伸
10．设，
试比较与1的大小。
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