第三十课时二次函数与一元二次方程
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学习要求
1.能利用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程根的存在性及根的个数;
2.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间;
3.体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.
自学评价
1.二次函数的零点的概念
一元二次方程的根也称为二次函数(≠0)的零点.
2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系
(1)一元二次方程(≠0)有两个不相等的实数根,判别式对应的二次函数(≠0)的图象与轴有两个交点为,对应的二次函数(≠0)有两个不同的零点,;
(2)一元二次方程(≠0)有两个相等的实数根=判别式对应的二次函数(≠0)的图象与轴有唯一的交点为(,0)对应的二次函数(≠0)有两个相同零点=;
(3)一元二次方程(≠0)没有实数根判别式对应的二次函数(≠0)的图象与轴没有交点对应的二次函数(≠0)没有零点.
3. 推广
⑴函数的零点的概念
一般地,对于函数,我们把使的实数叫做函数 的零点.
⑵函数的零点与对应方程的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
【精典范例】
例1:求证:一元二次方程有两个不相等的实数根.
【解】证法1
∵=
∴一元二次方程有两个不相等的实数根.
证法2 设,
∵函数的图象是一条开口向上的抛物线,且∴函数的图象与轴有两个不同的交点,即一元二次方程有两个不相等的实数根.
点评:例1还可用配方法将方程化为再证明.也可仿照证法2,由抛物线开口向上及来推证.
例2:右图是一个二次函数的图象.
(1)写出这个二次函数的零点;
(2)写出这个二次函数的解析式;
(3)试比较,与的大小关系.
【解】(1)由图象可知此函数的零点是:,.
(2)由(1)可设=
∵ ∴
∴.即这个二次函数的解析式为.
(3)∵,,
,,
∴,.
点评:例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想.
例3:当关于的方程的根满足下列条件时,求实数的取值范围:
(1)方程的两个根一个大于2,另一个小于2;
(2)方程的两根都小于;
(3)方程的两根都在区间上;
(4)方程的一个根在区间上,另一根在区间上;
(5)方程至少有一个实根小于.
分析:可将方程的左端设为函数,结合二次函数图象,确定的不等式(组).
【解】⑴ 设,其图象为开口向上的抛物线.若要其与轴的两个交点在点的两侧,只需,即,∴ .
⑵ 当时,满足题意.
当时,设. 若要
方程两根都小于1,只要
综上,方程的根都小于1时,
⑶ 设则方程两个根都在 上等价于:
∴.
(4)设,则方程一个根在上,另一根在上等价于
或.
(5)设,若方程的两个实根都小于,则有
若方程的两个根一个大于,另一个小于1,则有, ∴.
若方程的两个根中有一个等于,由根与系数关系知另一根必为,
∴, ∴.
综上,方程至少有一实根小于时,.
点评:二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带,函数综合题往往以二次函数为载体,考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等,考查形式灵活多样,考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等,高考在此设计的难度远远高于课本要求,在学习中一方面要加强训练,一方面要提高分析问题、解决问题的能力.
追踪训练一
1. 函数的最大值是,则 ( D )
A. B. C. D.
2. 设,, ,则 ( B )
A. B. C. D.
3. 若关于的方程有一根在内,则_____.
4.若二次函数在区间上是增函数,则的取值范围是_________________.
【选修延伸】
一、二次函数与一元二次方程根的关系
例4:已知,是方程
()的两个实根,求的最大值和最小值.
分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系.要求的最值,首先要考虑根与系数的关系,并由此得到以为自变量的的函数解析式.
【解】因为方程()有两个实根,所以
,解得
又,,
所以
.
而是减函数,因此当时,取最大值,当时,取最小值.
点评:这是一个与一元二次方程根有关的问题,必须先确定的取值范围,否则无法确定函数的单调性.
.
追踪训练二
1. 若方程在内恰有
一解,则的取值范围是( B )
A. B.
C. D.
2.已知,并且、是方程的两个根,则实数、、、的大小关系可能是( A )
A. B.
C. D.
3.不等式对一切实数都立,则的取值范围是.
4. 已知二次函数和一次函数,其中,且,
(1)求证:两函数、的图象交于不同两点、;
(2)求线段在轴上投影长度的取值范围.
答案:(1)∵,,∴,.由 得,
因为.
所以两函数、的图象必交于不同的两点;
(2)设,,则 .∵,,∴.
∴(,).
第30课二次函数与一元二次方程
分层训练:
1.函数的零点是( )
A., B., C., D.不存在
2.关于的不等式的解集是,则等于( )
A. B. C. D.
3.不等式对恒成立,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数的图象在轴的上方,则实数的取值范围是 .
5.已知函数.
(1)求函数的图象与轴的交点坐标,并结合图象指出当取何值时,函数值大于;
(2)设函数图象的顶点为,它与轴的交点为、,求的面积.
6.若函数在区间上是减函数,那么的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知实数、满足,则的最大值是 .
9.已知函数,.
(1)若,求的最大值与最小值,并指出相应的的值;
(2)若恒成立,求的取值范围.
拓展延伸
10.已知函数
(1)当时,其值为正; 时,其值为负,求的值及的表达式.
(2)设
当为何值时,函数的值恒为负值.
11.已知二次函数(为常数,且)满足条件:且方程有等根.
(1)求的解析式;
(2)是否存在实数、,使的定义域和值域分别为和,如果存在,求出、的值;如果不存在,说明理由.
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