第三十一课时 用二分法求方程的近似解
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学习要求
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；
2．能借助计算器用二分法求方程的近似解；
3．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
自学评价
1．二分法
对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，验证，给定精度；
（2）求区间的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；
② 若·<，则令=（此时零点）；
③若·<，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度：即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤2~4．
【精典范例】
例1：利用计算器，求方程的一个近似解（精确到0.1）．
【解】设，
先画出函数图象的简图.
(如右图所示)
因为
，
所以在区间内，方程有一解，记为.取与的平均数，因为
，
所以 .
再取与的平均数，因为，
所以 .
如此继续下去，得
，因为与精确到的近似值都为，所以此方程的近似解为
.
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
点评:①第一步确定零点所在的大致区间，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；
②建议列表样式如下：
零点所在区间
区间中点函数值
区间长度
1
0.5
0.25
0.125
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．
例2：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）．
分析：分别画函数和
的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程的解．由函数与的图象可以发现，方程有惟一解，记为，并且这个解在区间内.
【解】设，利用计算器计算得
因为与精确到的近似值都为，所以此方程的近似解为
.
思考:发现计算的结果约稳定在.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．
除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．
例3：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）．
【解】方程
可以化为．
分别画函数
与的图象，由图象可以知道，方程的解在区间内，那么对于区间，利用二分法就可以求得它的近似解为.
追踪训练一
1. 设是方程的解，则所在的区间为 （ B ）
A． B．
C． D．
2. 估算方程的正根所在的区间是 （ B ）
A． B．
C． D．
3．计算器求得方程的负根所在的区间是（ A ）
A．（，0） B．
C． D．
4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到)
(1) (2)
答案: (1)(2),
【选修延伸】
一、含字母系数的二次函数问题
例4：二次函数中实数、、满足，其中，求证：
（1）)；
（2）方程在内恒有解．
分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：是区间 内的数，且，这就启发我们把区间 划分为(，)和（，）来处理．
【解】（1）
，
由于是二次函数,故，又，所以，．
⑵ 由题意，得, ．
①当时，由（1）知
若，则，又,所以 在（，）内有解．
若，则
，又，所以在（,）内有解．
②当时同理可证．
点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．
（2）对字母、分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对分类，然后对分类显然是比较好．
追踪训练二
1．若方程在内恰有一则实数的取值范围是 (B )
A． B．
C． D．
2.方程的两个根分别在区间和内，则的取值范围是；
3．已知函数，在上存在，使，则实数的取值范围是_________________．
4．已知函数
⑴试求函数的零点；
⑵是否存在自然数，使？若存在，求出，若不存在，请说明理由．
答案：（1）函数的零点为；
（2）计算得，，
由函数的单调性，可知不存在自然数，使成立．
第31课用二分法求方程的近似解
分层训练
1．已知函数的图象是连续不断的曲线，且在区间上单调，若，则方程在区间上 （ ）
A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一的实根
2．方程的解的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．函数有零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．方程的两根均大于，则实数的取值范围是 ．
5．利用计算器用二分法求方程的近似解（精确到）．
6．下列方程在区间内存在实数解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知方程在上有根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若二次函数
的两个实数根一个在区间内，另一个在区间内，则实数的取值范围是 ．
9．求实数的取值范围，使得的根分别满足下列条件：
（1）一根大于，另一根小于；
（2）一根在区间内，另一根在区间内．
10．方程的两个实根都在区间内，求实数的取值范围．
拓展延伸
11．方程在上有实数根，求的取值范围．
12．已知的不等式的解区间是，求的值．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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